Resolver o sistema linear
c x1-2 x2+x3=0 2 x1-2 x2+x3=2 3 x1-2 x2-2 x3=-1
pelos métodos:
b) Decomposição L U, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a decomposição . Isso faz parte da álgebra linear, onde a gente decompõe a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior). Vamos precisar fazer isso de duas maneiras: sem usar pivoteamento e com pivoteamento parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 1 & -2 & 1 2 & -2 & 1 3 & -2 & -2 , b = 0 2 -1 :

Passo 3

Agora, vamos tentar decompor a matriz em e sem usar pivoteamento. Isso significa que vamos assumir que todos os pivôs (os elementos na diagonal principal) são não nulos e estão na posição certa.

Passo 4

Vamos começar preenchendo a matriz L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e com zeros e colocando 1’s na diagonal de :

Passo 5

Multiplicando A = LU por , temos que:
Então, cada elemento de será igual à soma dos produtos correspondentes de e .

Passo 6

Vamos igualar os elementos de u11 = 1, u12 = -2, u13 = 1 a l21u11 = 2 Rightarrow l21 = 2 :
  1. Primeira linha:
    l21u12 + u22 = -2 Rightarrow 2*(-2) + u22 = -2 Rightarrow u22 = 2
  2. Segunda linha:
    l21u13 + u23 = 1 Rightarrow 2*1 + u23 = 1 Rightarrow u23 = -1
    l31u11 = 3 Rightarrow l31 = 3
    l31u12 + l32u22 = -2 Rightarrow 3*(-2) + l32*2 = -2 Rightarrow -6 + 2l32 = -2 Rightarrow l32 = 2
  3. Terceira linha:
    l31u13 + l32u23 + u33 = -2 Rightarrow 3*1 + 2*(-1) + u33 = -2 Rightarrow 3 -2 + u33 = -2 Rightarrow u33 = -3

Passo 7

Agora temos as matrizes L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1 , U = 1 & -2 & 1 0 & 2 & -1 0 & 0 & -3 e :

Passo 8

Com o pronto, resolvemos em duas etapas:
  1. Resolva para .
  2. Resolva para .

Passo 9

Primeiro, resolvendo y1 = 0 2y1 + y2 = 2 Rightarrow y2 = 2 3y1 + 2y2 + y3 = -1 Rightarrow 0 + 4 + y3 = -1 Rightarrow y3 = -5 :
0 2 -5
Então, .

Passo 10

Agora, resolvendo x3 = -5-3 = 53 2x2 - x3 = 2 Rightarrow 2x2 - 53 = 2 Rightarrow 2x2 = 113 Rightarrow x2 = 116 x1 - 2x2 + x3 = 0 Rightarrow x1 - 2*116 + 53 = 0 Rightarrow x1 - 113 + 53 = 0 Rightarrow x1 = 2 :

Resposta

A solução do sistema é 2 dfrac116 dfrac53 .

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