Seja x=0.9999999 ldots, some uma série geométrica para encontrar o valor de x.
Temos que
x & =0.9999999 cdots=910+910^2+910^3+cdots & =910(1+110+110^2+110^3+cdots)=910 sum1^infty(110)^n-1 & =910(11-110)=1

Passo 1

Beleza, temos a equação e queremos descobrir o valor de somando uma série geométrica. Vamos usar o conceito de séries geométricas, que são somas de termos onde cada termo é multiplicado por uma razão fixa. Para resolver isso, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série e aplicar a fórmula da soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x = 0.9 + 0.09 + 0.009 + cdots como uma soma de uma série geométrica. Observe que:
x = 910 + 910^2 + 910^3 + cdots
Isso pode ser escrito como:
Aqui, o primeiro termo é e a razão é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para a soma infinita de uma série geométrica:
S = a1 - r
Essa fórmula funciona porque a série continua infinitamente e a razão é menor que 1, o que garante que a soma converge para um valor finito.

Passo 4

Aplicando os valores que identificamos na fórmula:
S = 9101 - 110 = 910910 = 1

Resposta

Portanto, .

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