(a) Se
for contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se uma função
é contínua e periódica, então ela é limitada e atinge seus extremos. Vamos explorar isso usando conhecimentos de análise matemática, especificamente sobre funções contínuas e periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
no domínio de
. Esse número
é chamado de período da função. Por exemplo, a função seno é periódica com período
.
Passo 3
Agora, uma função é contínua se, basicamente, não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Isso significa que você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel.
Passo 4
Para mostrar que
é limitada, precisamos provar que existe um intervalo
tal que
para todo
. Como
é periódica, vamos analisar seu comportamento em apenas um período, digamos de
a
.
Passo 5
Dentro desse intervalo
, como
é contínua, pelo Teorema de Weierstrass, sabemos que
atinge seus valores mínimo e máximo. Isso significa que existem
e
em
tais que
é o mínimo e
é o máximo.
Passo 6
Devido à periodicidade, esses valores extremos se repetem a cada período
. Portanto, em todo o domínio de
, a função não excede esses limites definidos no intervalo
, o que confirma que
é limitada.
Passo 7
Além disso, já que os extremos são alcançados em
e se repetem, concluímos que
atinge seus extremos.
Resposta
Portanto, se
é contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.