(a) Se f for contínua e periódica, então f é limitada e atinge seus extremos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se uma função é contínua e periódica, então ela é limitada e atinge seus extremos. Vamos explorar isso usando conhecimentos de análise matemática, especificamente sobre funções contínuas e periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número positivo tal que para todo no domínio de . Esse número é chamado de período da função. Por exemplo, a função seno é periódica com período .

Passo 3

Agora, uma função é contínua se, basicamente, não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Isso significa que você pode desenhá-la sem levantar o lápis do papel.

Passo 4

Para mostrar que é limitada, precisamos provar que existe um intervalo tal que para todo . Como é periódica, vamos analisar seu comportamento em apenas um período, digamos de a .

Passo 5

Dentro desse intervalo , como é contínua, pelo Teorema de Weierstrass, sabemos que atinge seus valores mínimo e máximo. Isso significa que existem e em tais que é o mínimo e é o máximo.

Passo 6

Devido à periodicidade, esses valores extremos se repetem a cada período . Portanto, em todo o domínio de , a função não excede esses limites definidos no intervalo , o que confirma que é limitada.

Passo 7

Além disso, já que os extremos são alcançados em e se repetem, concluímos que atinge seus extremos.

Resposta

Portanto, se é contínua e periódica, então é limitada e atinge seus extremos.

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