Utilizando o método da bissecção, determine a raiz da função f(x)=x^-1-x^2-1, considerando o intervalo [0.5:2]:
i a x b f(x) f(a) f(b)
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para a gente encontrar a raiz da função usando o método da bissecção no intervalo [0.5, 2]. Isso está dentro do tópico de Métodos Numéricos, especificamente o Método da Bissecção, que é uma técnica para aproximar raízes de funções contínuas.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona o método da bissecção: basicamente, a gente divide o intervalo ao meio várias vezes, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está ali. Isso envolve calcular o valor da função nos pontos finais e no ponto médio, e ver onde a mudança de sinal acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de f(a) = f(0.5) = 10.5 - (0.5)^2 - 1 = 2 - 0.25 - 1 = 0.75 e f(b) = f(2) = 12 - (2)^2 - 1 = 0.5 - 4 - 1 = -4.5 , que são as extremidades do intervalo inicial. Aqui, e .
Agora, calculamos e :
Vemos que e , o que significa que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0.5, 2] devido ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio x = a + b2 = 0.5 + 22 = 1.25 do intervalo:
f(1.25) = 11.25 - (1.25)^2 - 1 = 0.8 - 1.5625 - 1 = -1.7625
Agora, calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [0.5, 1.25]. Então, atualizamos .

Passo 4

Vamos calcular um novo ponto médio com o intervalo atualizado [0.5, 1.25]:
x = 0.5 + 1.252 = 0.875
Calculando f(0.875) = 10.875 - (0.875)^2 - 1 approx 1.1429 - 0.7656 - 1 = -0.6227 :
Novamente, e , então a raiz está no intervalo [0.5, 0.875]. Atualizamos .

Passo 5

Agora, calculamos o ponto médio do intervalo [0.5, 0.875]:
x = 0.5 + 0.8752 = 0.6875
Calculando f(0.6875) = 10.6875 - (0.6875)^2 - 1 approx 1.4545 - 0.4727 - 1 = -0.0182 :
Como está muito próximo de zero e ainda é negativo, mas próximo de zero, podemos considerar que a raiz está muito próxima de 0.6875. Para maior precisão, poderíamos continuar iterando, mas com cinco passos já temos uma boa aproximação.

Resposta

A raiz da função no intervalo [0.5, 2] é aproximadamente .

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