Utilizando o método da bissecção, determine a raiz da função
, considerando o intervalo [0.5:2]:
i | a | x | b |
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão pede para a gente encontrar a raiz da função
usando o método da bissecção no intervalo [0.5, 2]. Isso está dentro do tópico de Métodos Numéricos, especificamente o Método da Bissecção, que é uma técnica para aproximar raízes de funções contínuas.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona o método da bissecção: basicamente, a gente divide o intervalo ao meio várias vezes, escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está ali. Isso envolve calcular o valor da função nos pontos finais e no ponto médio, e ver onde a mudança de sinal acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
, que são as extremidades do intervalo inicial. Aqui,
e
.
Agora, calculamos
e
:
Vemos que
e
, o que significa que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0.5, 2] devido ao Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Vamos calcular o ponto médio
do intervalo:
Agora, calculamos
:
Como
e
, a raiz está no intervalo [0.5, 1.25]. Então, atualizamos
.
Passo 4
Vamos calcular um novo ponto médio com o intervalo atualizado [0.5, 1.25]:
Calculando
:
Novamente,
e
, então a raiz está no intervalo [0.5, 0.875]. Atualizamos
.
Passo 5
Agora, calculamos o ponto médio do intervalo [0.5, 0.875]:
Calculando
:
Como
está muito próximo de zero e ainda é negativo, mas próximo de zero, podemos considerar que a raiz está muito próxima de 0.6875. Para maior precisão, poderíamos continuar iterando, mas com cinco passos já temos uma boa aproximação.
Resposta
A raiz da função
no intervalo [0.5, 2] é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de que minimiza
.
(a) Determine o valor de
(a) Se
for contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.
Utilizando o método da falsa posição, determine a raiz da função
, considerando o intervalo [0.5:2]:
i | a | x | b |
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Utilizando o método de Secante, determine a raiz da função:
, considerando
.
i |
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