onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de
que minimiza
.
(a) Determine o valor de
Passo 1
Beleza, temos a função
e a gente precisa descobrir qual valor de
faz essa função ser a menor possível. Isso é uma questão de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a encontrar valores mínimos e máximos de funções. Vamos usar derivadas para achar o
que minimiza
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor mínimo, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Para achar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá duas soluções:
ou
. No contexto do problema,
provavelmente não faz sentido, então a gente fica com:
Resposta
O valor de
que minimiza
é
.