E(v)=a v^3 cdot Lv-u
onde a é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de v que minimiza E.

Passo 1

Beleza, temos a função e a gente precisa descobrir qual valor de faz essa função ser a menor possível. Isso é uma questão de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a encontrar valores mínimos e máximos de funções. Vamos usar derivadas para achar o que minimiza .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar:
E(v) = a v^3 cdot Lv - u = a L cdot v^3v - u

Passo 3

Agora, para encontrar o valor mínimo, precisamos derivar ddv(fg) = f' g - f g'g^2 em relação a e igualar a derivada a zero. Vamos usar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
dEdv = a L cdot 3v^2(v - u) - v^3(1)(v - u)^2
dEdv = a L cdot 3v^3 - 3u v^2 - v^3(v - u)^2
dEdv = a L cdot 2v^3 - 3u v^2(v - u)^2

Passo 5

Para achar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
2v^3 - 3u v^2 = 0
v^2(2v - 3u) = 0
Isso nos dá duas soluções: ou . No contexto do problema, provavelmente não faz sentido, então a gente fica com:

Resposta

O valor de que minimiza é .

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