(Funções Periódicas) Uma função
é periódica de período
se
para todo
. Mostre que:
© A função
é periódica se e só se
é racional.
© A função
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função
é periódica se e somente se a razão
for um número racional. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades dos números racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica com período
se, para todo
, vale que:
Isso significa que a função se repete a cada
unidades.
Passo 3
Considerando
, sabemos que:
- A função
tem período . - A função
tem período .
Para que
seja periódica, precisamos encontrar um período comum
que seja múltiplo de ambos
e
.
Passo 4
Vamos relacionar os períodos:
Onde
e
são números inteiros positivos. Substituindo os valores de
e
:
Simplificando, temos:
Isso mostra que
deve ser uma razão de dois números inteiros
e
, ou seja,
é racional.
Passo 5
Agora, vamos pensar no sentido contrário. Se
é um número racional, ou seja,
onde
e
são inteiros, então podemos escrever:
Isso significa que os períodos
e
são múltiplos inteiros entre si, garantindo que exista um período comum
para
. Portanto,
será periódica.
Resposta
A função
é periódica se e somente se
for um número racional.
Exercícios relacionados
Prove que:
(b) , para
.
(b)
Use aproximação linear para estimar o número dado.
©
©
(a) Se
for contínua e periódica, então
é limitada e atinge seus extremos.
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de que minimiza
.
(a) Determine o valor de