(Funções Periódicas) Uma função é periódica de período se para todo . Mostre que:
© A função é periódica se e só se é racional.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função é periódica se e somente se a razão for um número racional. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica com período se, para todo , vale que:
Isso significa que a função se repete a cada unidades.

Passo 3

Considerando , sabemos que:
  • A função tem período .
  • A função tem período .
Para que seja periódica, precisamos encontrar um período comum que seja múltiplo de ambos e .

Passo 4

Vamos relacionar os períodos:
Onde e são números inteiros positivos. Substituindo os valores de e :
Simplificando, temos:
Isso mostra que deve ser uma razão de dois números inteiros e , ou seja, é racional.

Passo 5

Agora, vamos pensar no sentido contrário. Se é um número racional, ou seja, onde e são inteiros, então podemos escrever:
Isso significa que os períodos e são múltiplos inteiros entre si, garantindo que exista um período comum para . Portanto, será periódica.

Resposta

A função é periódica se e somente se for um número racional.

Exercícios relacionados

Prove que:
(b) , para .
Use aproximação linear para estimar o número dado.
©
(a) Se for contínua e periódica, então é limitada e atinge seus extremos.
onde é uma constante de proporcionalidade.
(a) Determine o valor de que minimiza .