(Funções Periódicas) Uma função f: R R é periódica de período T neq 0 se f(x+T)=f(x) para todo x. Mostre que:
© A função f(x)=sen a x+sen b x é periódica se e só se ab é racional.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função é periódica se e somente se a razão for um número racional. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função f(x + T) = f(x) é periódica com período se, para todo , vale que:
Isso significa que a função se repete a cada unidades.

Passo 3

Considerando , sabemos que:
  • A função tem período .
  • A função tem período .
Para que seja periódica, precisamos encontrar um período comum que seja múltiplo de ambos e .

Passo 4

Vamos relacionar os períodos:
T = k cdot Ta = m cdot Tb
Onde k cdot 2pia = m cdot 2pib e ka = mb são números inteiros positivos. Substituindo os valores de ab = km e :
Simplificando, temos:
Isso mostra que deve ser uma razão de dois números inteiros e , ou seja, é racional.

Passo 5

Agora, vamos pensar no sentido contrário. Se b = a cdot km é um número racional, ou seja, onde e são inteiros, então podemos escrever:
Isso significa que os períodos e são múltiplos inteiros entre si, garantindo que exista um período comum para . Portanto, será periódica.

Resposta

A função é periódica se e somente se for um número racional.

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