Se f(x)=ln 1-x1+x, mostre que f(a)+f(b)=f(a+b1+a b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa mostrar que . Vamos usar conceitos de logaritmos e propriedades algébricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando somamos logaritmos, é como multiplicar os argumentos. Então, podemos escrever:
f(a) + f(b) = ln(1 - a1 + a) + ln(1 - b1 + b) = ln(1 - a1 + a cdot 1 - b1 + b)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as frações dentro do logaritmo:
1 - a1 + a cdot 1 - b1 + b = (1 - a)(1 - b)(1 + a)(1 + b)
Vamos expandir os numeradores e denominadores:
(1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
(1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab
Então, temos:
1 - a - b + ab1 + a + b + ab

Passo 4

Agora, vamos observar o que é f(a + b1 + ab) = ln(1 - a + b1 + ab1 + a + b1 + ab) :
1 - a + b1 + ab = (1 + ab) - (a + b)1 + ab = 1 + ab - a - b1 + ab
Vamos simplificar as frações dentro do logaritmo:
1 + a + b1 + ab = (1 + ab) + (a + b)1 + ab = 1 + ab + a + b1 + ab
f(a + b1 + ab) = ln(1 + ab - a - b1 + ab1 + ab + a + b1 + ab) = ln(1 + ab - a - b1 + ab + a + b)
Então:

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
f(a) + f(b) = ln(1 - a - b + ab1 + a + b + ab)
f(a + b1 + ab) = ln(1 + ab - a - b1 + ab + a + b)
Vemos que elas são iguais, pois a ordem dos termos no numerador e denominador não altera o resultado.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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