Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
, onde
é o número de resistores produzidos por hora e,
é o tempo (horas) desde o início do turno (com
.
Dessa forma:
Determine os horários em que a produção é máxima e mínima, durante o turno de 8 horas.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
Dessa forma:
Determine os horários em que a produção é máxima e mínima, durante o turno de 8 horas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica que quer otimizar a produção de resistores para aumentar o lucro. A produção por hora é dada pela função
, onde
é o tempo em horas dentro de um turno de 8 horas. Nosso objetivo aqui é descobrir em que horários a produção é máxima e mínima durante esse turno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, derivadas para encontrar pontos de máximo e mínimo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. O termo
indica que a parábola está voltada para baixo, ou seja, tem um ponto máximo. Para encontrar esse ponto máximo, usamos a fórmula da coordenada do vértice da parábola.
Passo 3
A fórmula para encontrar o tempo
onde ocorre o máximo de produção é dada por:
Aqui,
e
são os coeficientes da função quadrática. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o tempo
horas é quando a produção atinge o máximo durante o turno.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor máximo da produção substituindo
na função
:
Portanto, a produção máxima é de 100 resistores por hora às 5 horas de turno.
Passo 6
Para encontrar a produção mínima, precisamos verificar os valores nos extremos do turno, ou seja, no início (
) e no final (
).
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A produção é máxima de 100 resistores por hora às 5 horas de turno e mínima de 50 resistores por hora no início do turno (
).
Exercícios relacionados
Construa o gráfico de cada função abaixo:
Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função , onde
é o número de resistores produzidos por hora e,
é o tempo (horas) desde o início do turno (com
.
Dessa forma:
Determine o intervalo de tempo, durante o qual a produção está aumentando e diminuindo.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
Dessa forma:
Determine o intervalo de tempo, durante o qual a produção está aumentando e diminuindo.
Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função , onde
é o número de resistores produzidos por hora e,
é o tempo (horas) desde o início do turno (com
.
Dessa forma:
Calcule a variação média de resistores por hora, durante o turno de 8 horas.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função
Dessa forma:
Calcule a variação média de resistores por hora, durante o turno de 8 horas.
Utilizando definição precisa de limite, prove que
.