Uma fábrica de componentes eletrônicos está tentando otimizar sua produção de resistores, objetivando maximizar o lucro.
A produção de resistores por hora em uma determinada máquina, ao longo de um turno de 8 horas, é modelada pela função P(t)=50+20 t-2 t^2, onde P(t) é o número de resistores produzidos por hora e, t é o tempo (horas) desde o início do turno (com 0 <= t <= 8).
Dessa forma:
Determine os horários em que a produção é máxima e mínima, durante o turno de 8 horas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica que quer otimizar a produção de resistores para aumentar o lucro. A produção por hora é dada pela função , onde é o tempo em horas dentro de um turno de 8 horas. Nosso objetivo aqui é descobrir em que horários a produção é máxima e mínima durante esse turno. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, derivadas para encontrar pontos de máximo e mínimo de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. O termo indica que a parábola está voltada para baixo, ou seja, tem um ponto máximo. Para encontrar esse ponto máximo, usamos a fórmula da coordenada do vértice da parábola.

Passo 3

A fórmula para encontrar o tempo tv = -b2a onde ocorre o máximo de produção é dada por:
Aqui, e são os coeficientes da função quadrática. Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
tv = -202 times (-2) = -20-4 = 5
Então, o tempo horas é quando a produção atinge o máximo durante o turno.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor máximo da produção substituindo P(5) = 50 + 20 times 5 - 2 times (5)^2 = 50 + 100 - 50 = 100 na função :
Portanto, a produção máxima é de 100 resistores por hora às 5 horas de turno.

Passo 6

Para encontrar a produção mínima, precisamos verificar os valores nos extremos do turno, ou seja, no início ( P(0) = 50 + 20 times 0 - 2 times (0)^2 = 50 + 0 - 0 = 50 ) e no final ( P(8) = 50 + 20 times 8 - 2 times (8)^2 = 50 + 160 - 128 = 82 ).
Calculando :
Calculando :

Resposta

A produção é máxima de 100 resistores por hora às 5 horas de turno e mínima de 50 resistores por hora no início do turno ( ).

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