Faça 4 iterações completas à mão, descrevendo por completo cada iteração e calculando o critério de parada, mesmo que sem um valor para comparar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é realizar 4 iterações completas de um método iterativo à mão. Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos ou cálculo iterativo, onde usamos uma fórmula para aproximar soluções de equações ou sistemas. Para resolver isso, precisaremos de uma função específica, um ponto inicial (chute inicial) e a fórmula do método que vamos usar. Vamos imaginar que estamos tentando encontrar uma raiz da função usando o método de iteração de ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a função xn+1 = g(xn) = xn^2 + 22xn e a fórmula de iteração. Suponha que queremos resolver , ou seja, encontrar . Podemos rearranjar essa equação para a forma , onde . Esse rearranjo nos permite usar a fórmula de iteração de ponto fixo:
Vamos escolher um chute inicial, por exemplo, .

Passo 3

Iteração 1:
Usamos a fórmula com x1 = (1)^2 + 22 times 1 = 1 + 22 = 32 = 1.5 :
|x1 - x0| = |1.5 - 1| = 0.5
Agora, calculamos o critério de parada, que geralmente é a diferença entre as iterações:

Passo 4

Iteração 2:
Usamos x2 = (1.5)^2 + 22 times 1.5 = 2.25 + 23 = 4.253 approx 1.4167 :
|x2 - x1| = |1.4167 - 1.5| approx 0.0833
Critério de parada:

Passo 5

Iteração 3:
Usamos x3 = (1.4167)^2 + 22 times 1.4167 approx 2.0069 + 22.8334 approx 4.00692.8334 approx 1.4142 :
|x3 - x2| approx |1.4142 - 1.4167| approx 0.0025
Critério de parada:

Passo 6

Iteração 4:
Usamos x4 = (1.4142)^2 + 22 times 1.4142 approx 1.9999 + 22.8284 approx 3.99992.8284 approx 1.4142 :
|x4 - x3| approx |1.4142 - 1.4142| approx 0.0000
Critério de parada:

Resposta

Após 4 iterações, a aproximação para a raiz de é aproximadamente . O critério de parada mostrou que a diferença entre as iterações ficou muito pequena, indicando que chegamos perto o suficiente da solução exata .

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