Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que é o sólido limitado pelo cone e pelo paraboloide . Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O enunciado nos dá uma integral envolvendo sobre um sólido . Esse sólido é limitado por um cone e um paraboloide . Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com simetria circular e superfícies como cones e paraboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano a partir do eixo ), e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo ). As relações com as coordenadas cartesianas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função dada na integral em coordenadas esféricas. Temos:
Então, a integral fica:
Legal, agora simplificamos a integral eliminando do numerador e denominador.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e . O sólido está entre o paraboloide e o cone .
Em coordenadas esféricas:
Para o paraboloide:
Para o cone:
Então, varia de a .
Para , ele vai de até .
E varia de a porque o sólido tem simetria completa em torno do eixo .

Passo 5

Agora, configuramos a integral com os limites encontrados:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em , depois em e por último em .

Passo 6

Integrando em primeiro:
A integral agora fica:

Passo 7

Agora, a gente separa as integrais de e :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Para a integral em :
Isso porque a integral de de a é igual a .

Passo 9

Para a integral em :
Podemos fazer uma substituição simples: , então . Assim:
Avaliado de a :

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:
No entanto, lembrando que a integral completa envolve multiplicar pelo fator 3 devido à simetria dos termos , e , o que nos dá:

Resposta

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em que é o sólido limitado acima pelo cone e abaixo pela esfera z. Resp.:
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