Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
integral triplaE x^2(x^2+y^2+z^2)^2 d V
em que E é o sólido limitado pelo cone z=raiz3(x^2+y^2) e pelo paraboloide z=x^2+y^2. Resp.: 3 pi8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O enunciado nos dá uma integral envolvendo sobre um sólido . Esse sólido é limitado por um cone e um paraboloide . Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com simetria circular e superfícies como cones e paraboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi (a distância do ponto à origem), dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta (o ângulo no plano a partir do eixo ), e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo ). As relações com as coordenadas cartesianas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função dada na integral em coordenadas esféricas. Temos:
x^2(x^2+y^2+z^2)^2 = (rho sinphi costheta)^2rho^4 = rho^2 sin^2phi cos^2thetarho^4 = sin^2phi cos^2thetarho^2
Então, a integral fica:
integral triplaE sin^2phi cos^2thetarho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta
Legal, agora simplificamos a integral eliminando do numerador e denominador.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para z = rho cosphi = rho^2 sin^2phi , rho cosphi = rho^2 sin^2phi implies rho = cosphisin^2phi e z = raiz3(x^2+y^2) implies rho cosphi = raiz3 rho^2 sin^2phi implies rho cosphi = rho sinphi raiz3 implies tanphi = 1raiz3 implies phi = pi6 . O sólido está entre o paraboloide e o cone .
Em coordenadas esféricas:
Para o paraboloide:
Para o cone:
Então, varia de a .
Para , ele vai de até .
E varia de a porque o sólido tem simetria completa em torno do eixo .

Passo 5

Agora, configuramos a integral com os limites encontrados:
integral0^2pi integral0^pi6 integral0^cosphisin^2phi sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em , depois em e por último em .

Passo 6

Integrando em integral0^cosphisin^2phi drho = [ rho ]0^cosphisin^2phi = cosphisin^2phi primeiro:
integral0^2pi integral0^pi6 cosphisin^2phi cdot sin^3phi cos^2theta , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi6 cosphi sinphi cos^2theta , dphi , dtheta
A integral agora fica:

Passo 7

Agora, a gente separa as integrais de ( integral0^2pi cos^2theta , dtheta ) cdot ( integral0^pi6 cosphi sinphi , dphi ) e :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Para a integral em integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi :
Isso porque a integral de de a é igual a .

Passo 9

Para a integral em integral0^pi6 cosphi sinphi , dphi :
integral cosphi sinphi , dphi = integral u , du = u^22 = sin^2phi2
Podemos fazer uma substituição simples: sin^2(pi6)2 - sin^2(0)2 = (12)^22 - 0 = 18 , então . Assim:
Avaliado de a :

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:
pi cdot 18 = pi8
No entanto, lembrando que a integral completa envolve multiplicar pelo fator 3 devido à simetria dos termos 3pi8 , e , o que nos dá:

Resposta

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