Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que
é o sólido limitado pelo cone
e pelo paraboloide
. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O enunciado nos dá uma integral envolvendo
sobre um sólido
. Esse sólido é limitado por um cone
e um paraboloide
. Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com simetria circular e superfícies como cones e paraboloides.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
), e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo
). As relações com as coordenadas cartesianas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função dada na integral em coordenadas esféricas. Temos:
Então, a integral fica:
Legal, agora simplificamos a integral eliminando
do numerador e denominador.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
. O sólido
está entre o paraboloide
e o cone
.
Em coordenadas esféricas:
Para o paraboloide:
Para o cone:
Então,
varia de
a
.
Para
, ele vai de
até
.
E
varia de
a
porque o sólido tem simetria completa em torno do eixo
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral com os limites encontrados:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em
, depois em
e por último em
.
Passo 6
Integrando em
primeiro:
A integral agora fica:
Passo 7
Agora, a gente separa as integrais de
e
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Para a integral em
:
Isso porque a integral de
de
a
é igual a
.
Passo 9
Para a integral em
:
Podemos fazer uma substituição simples:
, então
. Assim:
Avaliado de
a
:
Passo 10
Multiplicando os resultados das integrais:
No entanto, lembrando que a integral completa envolve multiplicar pelo fator 3 devido à simetria dos termos
,
e
, o que nos dá:
Resposta
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Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que
é o sólido limitado acima pelo cone
e abaixo pela esfera
z. Resp.:
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
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