Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que é o sólido limitado acima pelo cone e abaixo pela esfera z. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A função que vamos integrar é , e a região é limitada por um cone e por uma esfera definida por .
Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica ou cônica. Vamos transformar a integral para coordenadas esféricas e então calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa mudança, temos:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas fica .
Além disso, notamos que na coordenada esférica.
Passo 3
Vamos reescrever a função que estamos integrando na nova coordenada:
Então, a integral tripla fica:
Isso simplifica bastante a nossa vida!
Passo 4
Agora, precisamos entender os limites de integração para , e .
Primeiro, para , como não há restrição em torno do eixo z, o intervalo será de a .
Para , vamos olhar para o cone . Em coordenadas esféricas, isso vira:
Então, vai de a .
Finalmente, para , a esfera em coordenadas esféricas fica:
Então, varia de a .
Passo 5
Agora, vamos montar nossa integral com os limites que encontramos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a . Note que pode ser simplificado usando a identidade :