Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d V
em que E é o sólido limitado acima pelo cone z=raiz3(x^2+y^2) e abaixo pela esfera z^2+y^2+x^2= z. Resp.: 3 pi4

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A função que vamos integrar é , e a região é limitada por um cone e por uma esfera definida por .
Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica ou cônica. Vamos transformar a integral para coordenadas esféricas e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa mudança, temos:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas fica .
Além disso, notamos que na coordenada esférica.

Passo 3

Vamos reescrever a função que estamos integrando na nova coordenada:
1x^2+y^2+z^2 = 1rho^2
Então, a integral tripla fica:
integral triplaE 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE sinphi , drho , dphi , dtheta
Isso simplifica bastante a nossa vida!

Passo 4

Agora, precisamos entender os limites de integração para rho cosphi = raiz3(rho^2 sin^2phi) , cosphi = raiz3 sinphi e tanphi = 1raiz3 implies phi = pi6 .
Primeiro, para rho^2 = rho cosphi implies rho = cosphi , como não há restrição em torno do eixo z, o intervalo será de a .
Para , vamos olhar para o cone . Em coordenadas esféricas, isso vira:
Então, vai de a .
Finalmente, para , a esfera em coordenadas esféricas fica:
Então, varia de a .

Passo 5

Agora, vamos montar nossa integral com os limites que encontramos:
integral0^2pi integral0^pi6 integral0^cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^cosphi sinphi , drho = sinphi cdot rho |0^cosphi = sinphi cdot cosphi :
integral0^2pi integral0^pi6 sinphi cosphi , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a sinphi cosphi = 12 sin 2phi . Note que integral0^2pi ( 12 integral0^pi6 sin 2phi , dphi ) dtheta pode ser simplificado usando a identidade 12 ( -12 cos 2phi |0^pi6 ) = 14 ( -cos pi3 + cos 0 ) = 14 ( -12 + 1 ) = 14 cdot 12 = 18 :
Então, a integral fica:
Integrando :

Passo 8

Agora, resta integrar em relação a integral0^2pi 18 , dtheta = 18 cdot 2pi = pi4 :

Resposta

A integral calculada é igual a .

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