Qual o número mínimo de intervalos n que se deve utilizar afim de garantir 2 casas decimais corretas (10^-2) na aproximação da integral?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é o número mínimo de intervalos que precisamos usar para garantir que a aproximação da integral tenha 2 casas decimais corretas, ou seja, uma precisão de . Isso está relacionado à integração numérica, onde usamos métodos como a Regra dos Trapézios ou Simpson para estimar integrais quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual método de integração numérica vamos usar. Vou assumir que vamos usar a Regra dos Trapézios, que é bastante comum. A formulação do erro para a Regra dos Trapézios é:
E = -(b - a)^312n^2 f''(xi)
Onde:
  • é o erro da aproximação.
  • e são os limites de integração.
  • é o número de intervalos.
  • é a segunda derivada da função no intervalo .

Passo 3

Nosso objetivo é garantir que o erro | -(b - a)^312n^2 f''(xi) | <= 0,005 seja menor que (b - a)^312n^2 |f''(xi)| <= 0,005 (para ter duas casas decimais corretas). Então, temos:
Como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o sinal:

Passo 4

Agora, vamos isolar (b - a)^3 |f''(xi)| <= 0,005 times 12n^2 na inequação. Primeiro, multiplique ambos os lados por (b - a)^3 |f''(xi)| <= 0,06n^2 :
(b - a)^3 |f''(xi)|0,06 <= n^2
Simplificando:
n >= raiz(b - a)^3 |f''(xi)|0,06
Agora, dividimos ambos os lados por :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Passo 5

Para determinar , precisamos conhecer:
  1. Os limites de integração e .
  2. A segunda derivada da função que estamos integrando, avaliada no intervalo .
Sem essas informações específicas, não podemos calcular um valor numérico para . Porém, a fórmula acima nos dá o caminho para encontrar uma vez que tenhamos esses dados.

Resposta

O número mínimo de intervalos n >= raiz(b - a)^3 |f''(xi)|0,06 necessário para garantir 2 casas decimais corretas na aproximação da integral é dado por:
Para calcular numérico, substitua , e com os valores específicos da sua integral.

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