Qual o número mínimo de intervalos que se deve utilizar afim de garantir 2 casas decimais corretas na aproximação da integral?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber qual é o número mínimo de intervalos que precisamos usar para garantir que a aproximação da integral tenha 2 casas decimais corretas, ou seja, uma precisão de . Isso está relacionado à integração numérica, onde usamos métodos como a Regra dos Trapézios ou Simpson para estimar integrais quando não conseguimos resolver de forma exata.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual método de integração numérica vamos usar. Vou assumir que vamos usar a Regra dos Trapézios, que é bastante comum. A formulação do erro para a Regra dos Trapézios é:
Onde:
é o erro da aproximação.
e são os limites de integração.
é o número de intervalos.
é a segunda derivada da função no intervalo .
Passo 3
Nosso objetivo é garantir que o erro seja menor que (para ter duas casas decimais corretas). Então, temos:
Como estamos interessados no valor absoluto, podemos ignorar o sinal:
Passo 4
Agora, vamos isolar na inequação. Primeiro, multiplique ambos os lados por :
Simplificando:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
Passo 5
Para determinar , precisamos conhecer:
Os limites de integração e .
A segunda derivada da função que estamos integrando, avaliada no intervalo .
Sem essas informações específicas, não podemos calcular um valor numérico para . Porém, a fórmula acima nos dá o caminho para encontrar uma vez que tenhamos esses dados.
Resposta
O número mínimo de intervalos necessário para garantir 2 casas decimais corretas na aproximação da integral é dado por:
Para calcular numérico, substitua , e com os valores específicos da sua integral.