O método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre saber se a gente pode usar o método da bisseção pra resolver a equação . O método da bisseção é uma técnica numérica usada pra encontrar raízes de funções contínuas. Pra usar ele, a gente precisa que a função seja contínua num intervalo onde ela muda de sinal (ou seja, passa de positivo pra negativo ou vice-versa). Então, vamos ver se conseguimos aplicar isso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação . Podemos reescrever isso como . Sabemos que a função seno é contínua em todo lugar e que ela vale -1 em pontos específicos, como
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
Agora, para aplicar o método da bisseção, a gente precisa escolher um intervalo
onde a função muda de sinal. Por exemplo, vamos olhar o intervalo
:
- Em
, , então (positivo). - Em
, , então . - Em
, , então (positivo).
Vemos que no ponto
, a função atinge zero. Mas para o método da bisseção funcionar, a gente precisa que em
e
os sinais sejam opostos, ou seja, um positivo e outro negativo.
Passo 4
Considerando isso, vamos ajustar o intervalo. Se olharmos um pouco antes de
, digamos
:
- Em
, , então (positivo). - Em
, como vimos, .
Ainda não temos sinais opostos. Mas se considerarmos um intervalo como
, onde
é um número pequeno positivo, a função vai mudar de positivo pra negativo ou vice-versa nesse intervalo, garantindo a mudança de sinal necessária pra aplicar a bisseção.
Resposta
Sim, o método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação , desde que seja escolhido um intervalo contínuo onde a função muda de sinal, garantindo a existência de uma raiz no intervalo escolhido.
Exercícios relacionados
A função
tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], em
. Tomando
, faça algumas iterações do método da bisseção para resolver a equação
adotando como tolerância
. A sequência gerada pelo método converge para a solução da equação no itervalo
? Caso não convirja, explique o motivo.
Use
formato real longo de 64 bits para determinar 0 equivalente decimal dos seguintes números de máquina em ponto flutuante.
0100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
0100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
Obtenha uma função
de forma que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a
.
Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação
, partindo de
e
. Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de
.