O método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação 1+sen x=0 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre saber se a gente pode usar o método da bisseção pra resolver a equação . O método da bisseção é uma técnica numérica usada pra encontrar raízes de funções contínuas. Pra usar ele, a gente precisa que a função seja contínua num intervalo onde ela muda de sinal (ou seja, passa de positivo pra negativo ou vice-versa). Então, vamos ver se conseguimos aplicar isso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Podemos reescrever isso como . Sabemos que a função seno é contínua em todo lugar e que ela vale -1 em pontos específicos, como , onde é um número inteiro.

Passo 3

Agora, para aplicar o método da bisseção, a gente precisa escolher um intervalo onde a função muda de sinal. Por exemplo, vamos olhar o intervalo :
  • Em , , então (positivo).
  • Em , , então .
  • Em , , então (positivo).
Vemos que no ponto , a função atinge zero. Mas para o método da bisseção funcionar, a gente precisa que em e os sinais sejam opostos, ou seja, um positivo e outro negativo.

Passo 4

Considerando isso, vamos ajustar o intervalo. Se olharmos um pouco antes de , digamos :
  • Em , , então (positivo).
  • Em , como vimos, .
Ainda não temos sinais opostos. Mas se considerarmos um intervalo como , onde é um número pequeno positivo, a função vai mudar de positivo pra negativo ou vice-versa nesse intervalo, garantindo a mudança de sinal necessária pra aplicar a bisseção.

Resposta

Sim, o método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação , desde que seja escolhido um intervalo contínuo onde a função muda de sinal, garantindo a existência de uma raiz no intervalo escolhido.

Exercícios relacionados