Fazendo uso de uma notação alternativa, descreva cada um dos conjuntos abaixo. Em seguida, diga se cada um destes é finito ou infinito.
a)
é o conjunto de todos os números inteiros maiores do que 10 .
b)
é o conjunto de todas as raízes reais da equação
.
c)
é o conjunto solução em
da inequação
.
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: Precisamos descrever cada um dos conjuntos
usando uma notação alternativa e depois determinar se cada conjunto é finito ou infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos, como notação por compreensão, intervalos e propriedades dos números. Também vamos precisar entender o que significa um conjunto ser finito ou infinito.
Passo 2
a) Conjunto
Descrição alternativa:
O conjunto inclui todos os números inteiros maiores que 10. Podemos expressar isso usando a notação por compreensão:
O conjunto
Finite ou Infinito:
O conjunto é infinito porque há uma quantidade ilimitada de números inteiros maiores que 10.
O conjunto
Passo 3
b) Conjunto
Descrição alternativa:
O conjunto consiste em todas as raízes reais da equação quadrática
. Para encontrar essas raízes, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
O conjunto
Onde
,
, e
.
Encontrando as raízes:
Como o discriminante
é negativo, não há raízes reais.
Finite ou Infinito:
O conjunto é vazio, ou seja, não contém elementos.
O conjunto
Passo 4
c) Conjunto
Descrição alternativa:
O conjunto é a solução real da inequação:
O conjunto
Para resolver essa inequação, precisamos encontrar os valores de
que tornam a fração positiva. Isso envolve analisar o sinal do numerador e do denominador.
Resolução:
-
Zerando numerador e denominador:
- Numerador:
- Denominador:
- Numerador:
-
Intervalos para testar:
-
-
Analisando os sinais:
- Para
: e → Fração negativa - Para
: e → Fração positiva - Para
: e → Fração negativa
- Para
Solução:
Finite ou Infinito:
O conjunto é infinito porque contém uma quantidade contínua de números reais entre -1 e 3.
O conjunto
Passo 5
d) Conjunto
Descrição alternativa:
O conjunto é dado por:
O conjunto
Observando os elementos, notamos que os números são ímpares e parecem seguir uma sequência onde a diferença entre alguns termos é 2 e, em um caso, é 4 (de 7 para 11). Isso sugere que
pode ser o conjunto dos números primos ímpares a partir de 1.
Notação alternativa:
Se considerarmos que representa os números primos ímpares, podemos expressá-lo como:
Se considerarmos que
Finite ou Infinito:
O conjunto é infinito porque há infinitos números primos.
O conjunto
Resposta
a)
— Infinito
b) — Finito
c) — Infinito
d) — Infinito
b)
c)
d)
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O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele próprio)? Justifique sua resposta.
Sejam
e
. Justifique a afirmação a seguir:
Todo conjunto possui um subconjunto próprio? Justifique sua resposta.
Considere os conjuntos
e
. Podemos afirmar que
e
?