Todo conjunto possui um subconjunto próprio? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando: “Todo conjunto possui um subconjunto próprio?” Isso envolve os conceitos de conjunto, subconjunto e subconjunto próprio na matemática. Para resolver, vamos precisar saber definir esses termos e analisar diferentes tipos de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir subconjunto. Um conjunto é um subconjunto de se todo elemento de também pertence a . Isso é representado por .
Agora, um subconjunto próprio é um subconjunto que não é igual ao conjunto original. Ou seja, é um subconjunto próprio de se e . Isso é representado por .

Passo 3

Vamos analisar o caso do conjunto vazio, que é um conjunto que não tem nenhum elemento, representado por . O único subconjunto do conjunto vazio é ele mesmo, ou seja, . Mas para ser um subconjunto próprio, ele precisaria ser diferente do conjunto original. Como não há nenhum outro subconjunto além de para o conjunto vazio, ele não possui um subconjunto próprio.

Passo 4

Agora, vamos considerar outros tipos de conjuntos:
  • Conjuntos com um único elemento: Por exemplo, . O subconjunto próprio seria , que é diferente de . Então, possui um subconjunto próprio.
  • Conjuntos com múltiplos elementos: Por exemplo, . Subconjuntos próprios incluem , e . Portanto, também possui subconjuntos próprios.
  • Conjuntos infinitos: Mesmo para conjuntos infinitos, sempre podemos encontrar subconjuntos próprios retirando ou adicionando elementos, mantendo o conjunto original intacto. Assim, eles também possuem subconjuntos próprios.

Passo 5

Com base na análise, percebemos que apenas o conjunto vazio não possui um subconjunto próprio. Todos os outros conjuntos, independentemente do tamanho ou se são finitos ou infinitos, têm pelo menos um subconjunto próprio.

Resposta

Não, nem todo conjunto possui um subconjunto próprio. O conjunto vazio não tem subconjunto próprio, enquanto todos os outros conjuntos possuem pelo menos um subconjunto próprio.

Exercícios relacionados

Fazendo uso de uma notação alternativa, descreva cada um dos conjuntos abaixo. Em seguida, diga se cada um destes é finito ou infinito.
a) é o conjunto de todos os números inteiros maiores do que 10 .
b) é o conjunto de todas as raízes reais da equação .
c) é o conjunto solução em da inequação .
d)
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele próprio)? Justifique sua resposta.
Considere os conjuntos e . Podemos afirmar que e ?
Sejam um subconjunto de e um subconjunto de . Suponha que , . Julgue as afirmações a seguir, justificando suas respostas.
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