Um arode raio
e massa
rola, sem deslizar, ao longo de um plano inclinado de
em relação a um plano horizontal. Calcule o trabalho necessário para fazer este aro parar. A velocidade do centro de massa do aro vale
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um aro com raio
e massa
kg que está rolando sem deslizar por um plano inclinado de
. A velocidade do centro de massa do aro é
m/s. Nosso objetivo é calcular o trabalho necessário para fazer esse aro parar. Vamos precisar usar conceitos de energia cinética tanto de translação quanto de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto que está se movendo tem duas partes: a energia cinética de translação (de deslocamento) e a energia cinética de rotação (de giro). A fórmula geral para a energia cinética total (
) é:
Aqui,
é a massa,
é a velocidade linear,
é o momento de inércia, e
é a velocidade angular.
Passo 3
Como o aro está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear (
) e a velocidade angular (
). Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade linear é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio do aro.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia (
) para o aro. Para um aro (que é basicamente um anel fino), o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é:
Passo 5
Vamos substituir
da relação
na fórmula da energia cinética total:
Substituindo na equação de
:
Simplificando:
Então, a energia cinética total do aro é:
Passo 6
O trabalho necessário para parar o aro é igual à energia cinética que ele possui, já que queremos remover toda essa energia. Assim, temos:
Resposta
Calculando o valor final:
Então, o trabalho necessário para fazer o aro parar é 20 Joules.