Um arode raio e massa rola, sem deslizar, ao longo de um plano inclinado de em relação a um plano horizontal. Calcule o trabalho necessário para fazer este aro parar. A velocidade do centro de massa do aro vale .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um aro com raio e massa kg que está rolando sem deslizar por um plano inclinado de . A velocidade do centro de massa do aro é m/s. Nosso objetivo é calcular o trabalho necessário para fazer esse aro parar. Vamos precisar usar conceitos de energia cinética tanto de translação quanto de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto que está se movendo tem duas partes: a energia cinética de translação (de deslocamento) e a energia cinética de rotação (de giro). A fórmula geral para a energia cinética total ( ) é:
Aqui, é a massa, é a velocidade linear, é o momento de inércia, e é a velocidade angular.

Passo 3

Como o aro está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear ( ) e a velocidade angular ( ). Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade linear é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio do aro.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ( ) para o aro. Para um aro (que é basicamente um anel fino), o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é:

Passo 5

Vamos substituir da relação na fórmula da energia cinética total:
Substituindo na equação de :
Simplificando:
Então, a energia cinética total do aro é:

Passo 6

O trabalho necessário para parar o aro é igual à energia cinética que ele possui, já que queremos remover toda essa energia. Assim, temos:

Resposta

Calculando o valor final:
Então, o trabalho necessário para fazer o aro parar é 20 Joules.

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