Uma esfera de raio
gira sem deslizar ao longo de um plano inclinado. A esfera parte, sem velocidade inicial, de uma altura (
). Determine sua velocidade na base do plano.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio
que está rolando sem deslizar por um plano inclinado. Ela começa do repouso, a partir de uma altura
, e queremos descobrir qual será a sua velocidade quando ela chegar na base desse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e entender como o movimento de rotação e translação da esfera estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a esfera tem no ponto de partida. Como ela está parado, toda a sua energia é energia potencial gravitacional. A fórmula para a energia potencial é:
Aqui,
é a massa da esfera,
é a aceleração da gravidade, e
é a altura. No nosso caso, a altura inicial é
, então a energia potencial inicial é:
Passo 3
Quando a esfera começa a rolar, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas, como a esfera está rolando sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética: a de translação (movimento para frente) e a de rotação (giro em torno do próprio eixo).
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Onde
é o momento de inércia da esfera e
é a velocidade angular.
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Além disso, como a esfera não desliza, há uma relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
:
Passo 4
Agora, aplicamos a lei de conservação da energia, que diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
Substituindo as expressões:
Simplificando:
Somando os termos de
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Cancelando
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade da esfera na base do plano é