Uma esfera de raio gira sem deslizar ao longo de um plano inclinado. A esfera parte, sem velocidade inicial, de uma altura ( ). Determine sua velocidade na base do plano.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio que está rolando sem deslizar por um plano inclinado. Ela começa do repouso, a partir de uma altura , e queremos descobrir qual será a sua velocidade quando ela chegar na base desse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e entender como o movimento de rotação e translação da esfera estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a esfera tem no ponto de partida. Como ela está parado, toda a sua energia é energia potencial gravitacional. A fórmula para a energia potencial é:
Aqui, é a massa da esfera, é a aceleração da gravidade, e é a altura. No nosso caso, a altura inicial é , então a energia potencial inicial é:

Passo 3

Quando a esfera começa a rolar, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas, como a esfera está rolando sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética: a de translação (movimento para frente) e a de rotação (giro em torno do próprio eixo).
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Onde é o momento de inércia da esfera e é a velocidade angular.
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Além disso, como a esfera não desliza, há uma relação entre a velocidade linear e a velocidade angular :

Passo 4

Agora, aplicamos a lei de conservação da energia, que diz que a energia total no início é igual à energia total no final:
Substituindo as expressões:
Simplificando:
Somando os termos de :

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Cancelando dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade da esfera na base do plano é

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