Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de um Ângulo em relaçāo à horizontal. A seçào reta produzida por um plano vertical passando pelo centro de massa do corpo é um círculo de raio . O momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa é igual a . A massa do corpo é igual a . O corpo rola sem velocidade inicial a partir de uma altura ). Calcule: (b) a aceleração do corpo em qualquer instante do movimento.

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos um corpo que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com ângulo em relação à horizontal. Sabemos que a trajetória da linha reta que passa pelo centro de massa do corpo forma um círculo de raio . As informações dadas são:
  • Massa do corpo:
  • Momento de inércia em relação ao centro de massa:
  • Altura inicial:
Queremos calcular a aceleração do corpo em qualquer instante durante o movimento. Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica rotacional e cinemática, aplicando as leis de Newton tanto para a translação quanto para a rotação do corpo.

Passo 2

Analisando as forças envolvidas:
Quando o corpo está rolando por um plano inclinado, existem duas forças principais atuando sobre ele:
  1. Força da gravidade ( ): Atua verticalmente para baixo.
  2. Força de atrito estático ( ): Impede que o corpo deslize, permitindo que ele role sem deslizar.
A componente da força da gravidade que faz o corpo deslizar para baixo pelo plano é .

Passo 3

Equilíbrio das forças na direção do movimento:
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação (movimento linear) na direção do plano inclinado:
Onde:
  • é a aceleração do corpo.
  • é a força de atrito estático.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para a rotação:
Para a rotação, a torque ( ) causado pela força de atrito estático gera uma aceleração angular ( ). A relação é dada por:
Sabemos que o torque é dado por:
E, devido à condição de rolamento sem deslizar:
Substituindo na equação do torque:
Simplificando:

Passo 5

Relacionando as equações de translação e rotação:
Agora, substituímos a expressão de na equação da translação:
Vamos isolar :

Passo 6

Calculando a aceleração ( ):
Resolvendo para :
Essa é a expressão geral para a aceleração de um corpo rolando sem deslizar por um plano inclinado, levando em conta seu momento de inércia.

Resposta

A aceleração do corpo em qualquer instante do movimento é:

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