Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de um Ângulo
em relaçāo à horizontal. A seçào reta produzida por um plano vertical passando pelo centro de massa do corpo é um círculo de raio
. O momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa é igual a
. A massa do corpo é igual a
. O corpo rola sem velocidade inicial a partir de uma altura
). Calcule: (b) a aceleração do corpo em qualquer instante do movimento.
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos um corpo que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com ângulo
em relação à horizontal. Sabemos que a trajetória da linha reta que passa pelo centro de massa do corpo forma um círculo de raio
. As informações dadas são:
- Massa do corpo:
- Momento de inércia em relação ao centro de massa:
- Altura inicial:
Queremos calcular a aceleração do corpo em qualquer instante durante o movimento. Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica rotacional e cinemática, aplicando as leis de Newton tanto para a translação quanto para a rotação do corpo.
Passo 2
Analisando as forças envolvidas:
Quando o corpo está rolando por um plano inclinado, existem duas forças principais atuando sobre ele:
- Força da gravidade (
): Atua verticalmente para baixo. - Força de atrito estático (
): Impede que o corpo deslize, permitindo que ele role sem deslizar.
A componente da força da gravidade que faz o corpo deslizar para baixo pelo plano é
.
Passo 3
Equilíbrio das forças na direção do movimento:
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação (movimento linear) na direção do plano inclinado:
Onde:
-
é a aceleração do corpo. -
é a força de atrito estático.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para a rotação:
Para a rotação, a torque (
) causado pela força de atrito estático gera uma aceleração angular (
). A relação é dada por:
Sabemos que o torque é dado por:
E, devido à condição de rolamento sem deslizar:
Substituindo
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 5
Relacionando as equações de translação e rotação:
Agora, substituímos a expressão de
na equação da translação:
Vamos isolar
:
Passo 6
Calculando a aceleração (
):
Resolvendo para
:
Essa é a expressão geral para a aceleração de um corpo rolando sem deslizar por um plano inclinado, levando em conta seu momento de inércia.
Resposta
A aceleração do corpo em qualquer instante do movimento é: