Num brinquedo de um parque de diversđes, uma criança está sentada numa cadeirinha que gira com velocidade angular igual a
torno de um eixo vertical. Despreze a masas da corrente que prende a cadeirinha ao ponto de suspensão. O comprimento total deste pêndulo cônico é igual a 3 m . A massa total (da cadeirinha mais a da criança) é igual a 55 kg . Calcule: (a) o angulo entre a direção da corrente que sustenta a cadeirinha e a direção vert ical
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre o pêndulo cônico, que é um problema da dinâmica envolvendo forças e movimentos circulares. Precisamos calcular o ângulo entre a corrente que sustenta a cadeirinha e a direção vertical. Para isso, vamos usar conceitos de forças em equilíbrio e movimento circular uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na cadeirinha. Temos duas principais:
- Força Peso §: É a força da gravidade que age para baixo, calculada por
, onde é a massa e é a aceleração da gravidade. - Tensão na Corrente (T): A corrente que prende a cadeirinha exerce uma força que tem duas componentes: uma vertical (
) que equilibra o peso, e uma horizontal ( ) que fornece a força centrípeta para o movimento circular.
Passo 3
Como a cadeirinha está em equilíbrio vertical, a componente vertical da tensão é igual ao peso:
Essa é a Equação 1.
Passo 4
A componente horizontal da tensão é responsável pela força centrípeta necessária para o movimento circular da cadeirinha:
Onde:
-
é a velocidade angular. -
é o raio da trajetória circular, que pode ser relacionado ao comprimento da corrente e ao ângulo por .
Essa é a Equação 2.
Passo 5
Agora, vamos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar
, rearranjamos a equação:
Mas essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente. Então, vamos usar a relação da Equação 1 para expressar
e substituí-la na Equação 2.
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Simplificando
e
:
Portanto:
Passo 7
Agora, podemos encontrar o ângulo
usando a função arco cosseno:
Substituindo os valores fornecidos:
Calculando:
Resposta
O ângulo entre a direção da corrente que sustenta a cadeirinha e a direção vertical é de aproximadamente 82,4 graus.