Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que
constante, onde
é a chamada “razão de calor específico”,
para o ar. (b) Use a lei dos gases ideiais,
para mostrar que a densidade é
, onde
é massa molecular média do ar (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar a lei dos gases ideais para mostrar que a densidade do ar pode ser expressa pela fórmula
. Aqui, estamos mexendo com conceitos de termodinâmica e física dos gases, especialmente a relação entre pressão, volume, temperatura e densidade. Vamos precisar entender bem a lei dos gases ideais e como relacionar ela com a densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a lei dos gases ideais, que é dada por:
onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura.
Passo 3
Agora, a gente quer chegar na expressão da densidade
. A densidade é definida como a massa por unidade de volume:
onde
é a massa do gás.
Passo 4
Sabemos que o número de mols
está relacionado com a massa
e a massa molecular média
por:
Vamos substituir isso na equação dos gases ideais.
Passo 5
Substituindo
na lei dos gases ideais:
Agora, vamos isolar
para facilitar.
Passo 6
Isolando
:
Mas, lembrando que
, podemos substituir isso na equação.
Passo 7
Substituindo
:
Agora, queremos expressar a densidade
, então vamos reorganizar a equação.
Passo 8
Resolvendo para
:
Prontinho! Essa é a fórmula que queríamos demonstrar.
Resposta
A densidade do ar é dada por
.