Determinar a velocidade do som no ar usando o resultado (16.140) requer um pequeno cuidado. (Mesmo o grande Newton obteve isso errado!) O problema é decidir sobre o valor correto do módulo de compressibilidade do ar. Como as vibrações são muito rápidas, não há tempo para a transferência de calor e o ar expande e contrai adiabaticamente, de modo que constante, onde é a chamada “razão de calor específico”, para o ar. (b) Use a lei dos gases ideiais, para mostrar que a densidade é , onde é massa molecular média do ar ( ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar a lei dos gases ideais para mostrar que a densidade do ar pode ser expressa pela fórmula . Aqui, estamos mexendo com conceitos de termodinâmica e física dos gases, especialmente a relação entre pressão, volume, temperatura e densidade. Vamos precisar entender bem a lei dos gases ideais e como relacionar ela com a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a lei dos gases ideais, que é dada por:
onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura.

Passo 3

Agora, a gente quer chegar na expressão da densidade . A densidade é definida como a massa por unidade de volume:
onde é a massa do gás.

Passo 4

Sabemos que o número de mols está relacionado com a massa e a massa molecular média por:
Vamos substituir isso na equação dos gases ideais.

Passo 5

Substituindo na lei dos gases ideais:
Agora, vamos isolar para facilitar.

Passo 6

Isolando :
Mas, lembrando que , podemos substituir isso na equação.

Passo 7

Substituindo :
Agora, queremos expressar a densidade , então vamos reorganizar a equação.

Passo 8

Resolvendo para :
Prontinho! Essa é a fórmula que queríamos demonstrar.

Resposta

A densidade do ar é dada por .

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