Um cilindro de raio
possui massa
. Na periferia deste cilindro exise um fio enrolado de massa desprezivel. Puxamos o fio verticalmente para cima de tal forma que o centro de massa do cilindro permanece em repouso. Calcule a tração no fio necessária para que não haja movimento de translação do centro de massa.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos um cilindro com raio
e massa
, e um fio enrolado na sua periferia. Quando puxamos esse fio para cima, queremos que o centro de massa do cilindro não se mova, ou seja, que não haja translação. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e equilíbrio de torques da física.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no cilindro. Existem duas forças principais:
- A força de tração
, exercida pelo fio puxado para cima. - O peso do cilindro
, exercido para baixo, onde é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para que o centro de massa do cilindro permaneça em repouso (sem translação), a soma das forças verticais deve ser zero. Isso nos dá a seguinte equação de equilíbrio:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, consideramos o equilíbrio de rotação. Ao puxar o fio, a tração
também gera um torque sobre o cilindro. O torque (
) é dado por:
Para que não haja aceleração angular (rotação), esse torque deve ser equilibrado. No caso, como queremos que o cilindro não gire de maneira que afete o centro de massa, a tração
deve ser tal que não cause mudança no estado de rotação do cilindro.
Passo 5
No entanto, como já determinamos que
, verificamos que essa força de tração é suficiente para equilibrar tanto a força gravitacional quanto o torque causado pelo fio. Isso garante que o cilindro não sofrerá nem translação nem rotação que altere o posicionamento do seu centro de massa.
Resposta
A tração necessária no fio para que o centro de massa do cilindro não se mova é
.