Um cilindro de raio possui massa . Na periferia deste cilindro exise um fio enrolado de massa desprezivel. Puxamos o fio verticalmente para cima de tal forma que o centro de massa do cilindro permanece em repouso. Calcule a tração no fio necessária para que não haja movimento de translação do centro de massa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um cilindro com raio e massa , e um fio enrolado na sua periferia. Quando puxamos esse fio para cima, queremos que o centro de massa do cilindro não se mova, ou seja, que não haja translação. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e equilíbrio de torques da física.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no cilindro. Existem duas forças principais:
  1. A força de tração , exercida pelo fio puxado para cima.
  2. O peso do cilindro , exercido para baixo, onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para que o centro de massa do cilindro permaneça em repouso (sem translação), a soma das forças verticais deve ser zero. Isso nos dá a seguinte equação de equilíbrio:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, consideramos o equilíbrio de rotação. Ao puxar o fio, a tração também gera um torque sobre o cilindro. O torque ( ) é dado por:
Para que não haja aceleração angular (rotação), esse torque deve ser equilibrado. No caso, como queremos que o cilindro não gire de maneira que afete o centro de massa, a tração deve ser tal que não cause mudança no estado de rotação do cilindro.

Passo 5

No entanto, como já determinamos que , verificamos que essa força de tração é suficiente para equilibrar tanto a força gravitacional quanto o torque causado pelo fio. Isso garante que o cilindro não sofrerá nem translação nem rotação que altere o posicionamento do seu centro de massa.

Resposta

A tração necessária no fio para que o centro de massa do cilindro não se mova é .

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