Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de um Ângulo
em relaçāo à horizontal. A seçào reta produzida por um plano vertical passando pelo centro de massa do corpo é um círculo de raio
. O momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa é igual a
. A massa do corpo é igual a
. O corpo rola sem velocidade inicial a partir de uma altura
). Calcule: (a) o quadrado do módulo da velocidade do corpo na base do plano,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com um ângulo de
. Esse corpo tem uma massa
, um raio
, e o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é
. Ele começa a rolar a partir de uma altura
sem velocidade inicial. Precisamos calcular o quadrado da velocidade do corpo na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, cinética de translação e rotação, e as relações de movimento para corpos rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas no movimento do corpo. Como o corpo está rolando sem deslizar, a energia mecânica total será conservada. Essa energia consiste da energia potencial gravitacional inicial e se transforma em energia cinética na base do plano, que tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação.
A energia potencial gravitacional inicial (
) é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
A energia cinética total na base do plano (
) é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
Aqui,
é a velocidade de translação e
é a velocidade angular.
Passo 3
Como o corpo está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
:
Isso significa que podemos substituir
por
na equação da energia cinética.
Passo 4
Substituindo
por
na expressão da energia cinética total, temos:
Passo 5
Como a energia mecânica é conservada, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética na base do plano:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Fatorando
na equação, temos:
Agora, isolamos
:
Resposta
O quadrado do módulo da velocidade do corpo na base do plano é: