Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de um Ângulo em relaçāo à horizontal. A seçào reta produzida por um plano vertical passando pelo centro de massa do corpo é um círculo de raio . O momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa é igual a . A massa do corpo é igual a . O corpo rola sem velocidade inicial a partir de uma altura ). Calcule: (a) o quadrado do módulo da velocidade do corpo na base do plano,

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com um ângulo de . Esse corpo tem uma massa , um raio , e o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é . Ele começa a rolar a partir de uma altura sem velocidade inicial. Precisamos calcular o quadrado da velocidade do corpo na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, cinética de translação e rotação, e as relações de movimento para corpos rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas no movimento do corpo. Como o corpo está rolando sem deslizar, a energia mecânica total será conservada. Essa energia consiste da energia potencial gravitacional inicial e se transforma em energia cinética na base do plano, que tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação.
A energia potencial gravitacional inicial ( ) é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.
A energia cinética total na base do plano ( ) é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ):
Aqui, é a velocidade de translação e é a velocidade angular.

Passo 3

Como o corpo está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear e a velocidade angular :
Isso significa que podemos substituir por na equação da energia cinética.

Passo 4

Substituindo por na expressão da energia cinética total, temos:

Passo 5

Como a energia mecânica é conservada, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética na base do plano:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Fatorando na equação, temos:
Agora, isolamos :

Resposta

O quadrado do módulo da velocidade do corpo na base do plano é:

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