A tensão de tração em uma barra de cobre espessa é de
de seu ponto elástico de quebra de
. Se uma onda de som de 500 Hz é transmitida através do material, (a) que amplitude de deslocamento fará que a barra se quebre? (b) Qual é a velocidade máxima dos elementos de cobre nesse momento? © Qual é a intensidade do som na barra?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma barra de cobre sob tensão próxima do ponto de quebra e uma onda sonora passando por ela. A matéria envolvida aqui é Ondas Mecânicas e Tensão em Materiais Sólidos. Para resolver, vamos precisar entender como a tensão, a amplitude de deslocamento, a frequência da onda e a intensidade do som estão relacionados. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão que a barra está suportando. A tensão de tração dada é 99,5% do ponto elástico de quebra, que é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos focar na Parte (a): calcular a amplitude de deslocamento que fará a barra se quebrar. Para isso, precisamos relacionar a tensão máxima (
) com a amplitude de deslocamento (
) da onda sonora. A relação entre tensão e deslocamento em uma onda longitudinal é dada por:
Onde:
-
é o módulo de Young do cobre. -
é a amplitude de deslocamento. -
é o n��mero de onda, que é .
Vamos considerar que a velocidade da onda no cobre (
) pode ser expressa como:
Mas para simplificar, podemos combinar as fórmulas e resolver para
:
Passo 4
Precisamos agora do módulo de Young (
) e da densidade (
) do cobre para calcular a velocidade da onda (
). Valores típicos são:
Calculando
:
Passo 5
Agora, voltando à amplitude de deslocamento (
):
Mas isso parece muito grande! Provavelmente houve um erro nas unidades ou nos cálculos. Vamos revisar rapidamente:
Na verdade, a relação correta para amplitude de deslocamento em ondas longitudinais considerando tensão é:
Resolvendo para
:
Onde
.
Então:
Calculando passo a passo:
Passo 6
Agora, vamos para a Parte (b): calcular a velocidade máxima dos elementos de cobre no momento da quebra. A velocidade máxima (
) está relacionada à amplitude de deslocamento e à frequência da onda pela relação:
Onde
e
:
Passo 7
Finalmente, a Parte ©: calcular a intensidade do som na barra. A intensidade (
) de uma onda sonora é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Resposta
(a) A amplitude de deslocamento que fará a barra se quebrar é aproximadamente
(11,95 nanômetros).
(b) A velocidade máxima dos elementos de cobre nesse momento é aproximadamente
.
© A intensidade do som na barra é aproximadamente
.