Sendo f(x)=e^x-1 e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(a) Estimar I=integral1^1,6 f(x) d x utilizando 6 subintervalos de integração e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a integral de no intervalo de 1 a 1,6 utilizando a segunda regra de Simpson com 6 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender a regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica para estimar o valor de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tamanho de cada subintervalo, que a gente chama de h = b - an . A fórmula pra isso é:
h = 1,6 - 16 = 0,66 = 0,1
Onde:
  • (início do intervalo)
  • (fim do intervalo)
  • (número de subintervalos)
Então,

Passo 3

Agora, vamos identificar todos os pontos x0 = 1,0 x1 = 1,1 x2 = 1,2 x3 = 1,3 x4 = 1,4 x5 = 1,5 x6 = 1,6 dentro do intervalo [1, 1,6]. Começamos em e aumentamos de 0,1 em 0,1:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de f(x) = e^x - 1 em cada um desses pontos:
f(x0) = e^1,0 - 1 approx 2,7183 - 1 = 1,7183 f(x1) = e^1,1 - 1 approx 3,0042 - 1 = 2,0042 f(x2) = e^1,2 - 1 approx 3,3201 - 1 = 2,3201 f(x3) = e^1,3 - 1 approx 3,6693 - 1 = 2,6693 f(x4) = e^1,4 - 1 approx 4,0552 - 1 = 3,0552 f(x5) = e^1,5 - 1 approx 4,4817 - 1 = 3,4817 f(x6) = e^1,6 - 1 approx 4,9530 - 1 = 3,9530
Calculando cada :

Passo 5

Vamos aplicar a segunda regra de Simpson, que para I approx h3 [ f(x0) + 4 sumi ímpar f(xi) + 2 sumi par f(xi) + f(xn) ] subintervalos é dada por:
í
Nesse caso:
  • é par, ok para a regra de Simpson
  • Somamos os ímpares ( ):
  • Somamos os pares ( ):

Passo 6

Substituindo na fórmula:
I approx 0,13 [ 1,7183 + 4 times 8,1552 + 2 times 5,3753 + 3,9530 ]
Vamos calcular dentro dos colchetes:
1,7183 + (4 times 8,1552) = 1,7183 + 32,6208 = 34,3391 34,3391 + (2 times 5,3753) = 34,3391 + 10,7506 = 45,0897 45,0897 + 3,9530 = 49,0427
Agora,
I approx 0,13 times 49,0427 approx 0,0333 times 49,0427 approx 1,6348

Resposta

A estimativa da integral utilizando 6 subintervalos pela segunda regra de Simpson é aproximadamente 1,6348.

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