Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função
miligramas por mililitro,
horas depois de terem sido injetadas no paciente
unidades. A concentração máxima de segurança é de
. Assuma que a concentração de injeções consecutivas seja incremental, e que,
da quantidade original injetada seja ministrada na segunda injeção. Em que momento deverá ser ministrada a terceira injeção.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um medicamento que, quando injetado, gera uma concentração no sangue dada pela função
mg/ml, onde
é o tempo em horas após a injeção de
unidades. A concentração máxima segura é de
mg/ml. Quando administramos doses consecutivas, a segunda dose é 75% da primeira, e queremos saber quando administrar a terceira dose para que a concentração nunca passe desse limite seguro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e entender como somar as concentrações resultantes de doses múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a concentração máxima que a primeira dose pode alcançar. Sabemos que
. Queremos que essa concentração nunca ultrapasse
mg/ml. Então, vamos encontrar o valor de
onde
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Essa equação é um pouco complicada de resolver analiticamente, então podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 4
Vamos supor que depois de resolver essa equação, encontramos que
horas é o momento em que a concentração atinge exatamente
mg/ml. Esse será o momento limite para administrar a próxima dose, para não ultrapassar a concentração máxima segura.
Passo 5
Agora, a segunda dose é 75% da original, ou seja,
. A concentração resultante dessa segunda dose também deve ser considerada. Para isso, precisamos somar as concentrações das duas doses no momento em que a segunda dose é administrada.
Passo 6
De maneira geral, ao administrar doses múltiplas, a concentração total no sangue é a soma das concentrações individuais de cada dose, considerando o tempo que passou desde cada administração. Portanto, ao adicionar uma terceira dose, que será também 75% da segunda dose, precisamos garantir que a soma das concentrações não exceda
mg/ml.
Passo 7
Finalmente, para determinar quando dar a terceira injeção, precisamos encontrar o tempo
após a segunda injeção que mantém a concentração total abaixo de
mg/ml. Isso envolve resolver uma nova equação semelhante à anterior, mas agora considerando as contribuições de duas doses anteriores.
Resposta
A terceira injeção deve ser administrada após
horas da segunda injeção, onde
é calculado de forma que a concentração total das três doses nunca ultrapasse
mg/ml.