Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um polinômio interpolador quadrático para a função
usando o método das diferenças divididas, nos pontos
,
e
. Isso significa que queremos um polinômio de segundo grau que passe exatamente por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os valores que a função
assume nos pontos dados:
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia das diferenças divididas é calcular coeficientes que nos ajudam a construir o polinômio de interpolação de forma incremental.
Primeiro, colocamos os valores de
e
:
Passo 4
Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as diferenças entre os valores de
divididas pela diferença entre os
correspondentes:
Calculando:
Atualizando a tabela:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda diferença dividida, que usa as primeiras diferenças divididas:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandimos os termos:
Multiplicando os coeficientes:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Resposta
O polinômio interpolador quadrático para
nos pontos
,
e
é:
Exercícios relacionados
A função
é crescente e troca de sinal em
. Para aproximar a raiz
de
, podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os
e
, com
e
e aproximamos
pelo valor do polinômio
, no ponto
, que interpola
nos pontos
. Estime
pelo método descrito.
Utilize a diferença dividida
, com
, para escrever
Considerando cada função abaixo, calcule o valor de cada imagem pedida.
Considerando cada função abaixo, calcule o valor de cada imagem pedida.