Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um polinômio interpolador quadrático para a função usando o método das diferenças divididas, nos pontos , e . Isso significa que queremos um polinômio de segundo grau que passe exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que a função assume nos pontos dados:

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia das diferenças divididas é calcular coeficientes que nos ajudam a construir o polinômio de interpolação de forma incremental.
Primeiro, colocamos os valores de e :

Passo 4

Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as diferenças entre os valores de divididas pela diferença entre os correspondentes:
Calculando:
Atualizando a tabela:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda diferença dividida, que usa as primeiras diferenças divididas:
Substituindo os valores:

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandimos os termos:
Multiplicando os coeficientes:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:

Resposta

O polinômio interpolador quadrático para nos pontos , e é:

Exercícios relacionados

A função
é crescente e troca de sinal em . Para aproximar a raiz de , podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os e , com e e aproximamos pelo valor do polinômio , no ponto , que interpola nos pontos . Estime pelo método descrito.
Utilize a diferença dividida , com , para escrever
Considerando cada função abaixo, calcule o valor de cada imagem pedida.
Considerando cada função abaixo, calcule o valor de cada imagem pedida.