Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de log 2(x),
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar um polinômio interpolador quadrático para a função log2(x) usando o método das diferenças divididas, nos pontos x = 2, 4 e 8. Isso significa que queremos um polinômio de segundo grau que passe exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os valores que a função log2(x) assume nos pontos dados:
c|c x & f(x) = log2(x) hline 2 & log2(2) = 1 4 & log2(4) = 2 8 & log2(8) = 3

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia das diferenças divididas é calcular coeficientes que nos ajudam a construir o polinômio de interpolação de forma incremental.
Primeiro, colocamos os valores de x e f(x):
c|c|c|c x & f[x] & f[x0,x1] & f[x0,x1,x2] hline 2 & 1 & & 4 & 2 & & 8 & 3 & &

Passo 4

Vamos calcular as primeiras diferenças divididas, que são as diferenças entre os valores de f(x) divididas pela diferença entre os x correspondentes:
f[x0,x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0
f[x1,x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1
Calculando:
f[2,4] = 2 - 14 - 2 = 12 = 0,5
f[4,8] = 3 - 28 - 4 = 14 = 0,25
Atualizando a tabela:
c|c|c|c x & f[x] & f[x0,x1] & f[x0,x1,x2] hline 2 & 1 & 0,5 & 4 & 2 & 0,25 & 8 & 3 & &

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda diferença dividida, que usa as primeiras diferenças divididas:
f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0
Substituindo os valores:
f[2,4,8] = 0,25 - 0,58 - 2 = -0,256 = -124 approx -0,0417

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
P(x) = 1 + 0,5(x - 2) - 124(x - 2)(x - 4)

Passo 7

Vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expandimos os termos:
P(x) = 1 + 0,5(x - 2) - 124(x^2 - 6x + 8)
Multiplicando os coeficientes:
P(x) = 1 + 0,5x - 1 - 124x^2 + 624x - 824
Simplificando:
P(x) = 0,5x - 124x^2 + 0,25x - 13
Combinando termos semelhantes:
P(x) = -124x^2 + 0,75x - 13

Resposta

O polinômio interpolador quadrático para log2(x) nos pontos 2, 4 e 8 é:
P(x) = -124x^2 + 34x - 13

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