A função de Debye é encontrada em termodinâmica estatística no cálculo do calor específico da água a volume constante de certas substâncias. A função é expressa por:
D(x)=3theta^3 integral0^theta x^3e^x-1 d x
Obter D(x) nos seguintes casos: theta=0.5 e theta=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de Debye, que aparece na termodinâmica estatística quando a gente está calculando o calor específico de certos materiais, como a água, a volume constante. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a função D(x)=3theta^3 integral0^theta x^3e^x-1 dx para dois valores de : 0,5 e 10. A função de Debye está definida pela integral:
Vamos calcular essa integral para os valores de dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que precisamos integrar:
x^3e^x-1
Essa expressão aparece com frequência na física quando estudamos vibrações e modos de energia em sólidos. A integral de a dessa função nos dá uma medida acumulada desses modos até a temperatura representada por .
Para resolver a integral, vamos usar métodos de integração numérica, já que ela não tem uma solução analítica simples. Um método comum é o Método dos Trapézios, que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.

Passo 3

Vamos calcular D(x)=3(0,5)^3 integral0^0,5 x^3e^x-1 dx para D(x)=30,125 integral0^0,5 x^3e^x-1 dx = 24 integral0^0,5 x^3e^x-1 dx .
Primeiro, substituímos integrala^b f(x) dx approx De na fórmula:
Isso simplifica para:
Agora, aplicando o Método dos Trapézios para aproximar a integral:
  1. Dividimos o intervalo de integração em um número de subintervalos, digamos , para melhorar a precisão.
  2. Calculamos os valores de em cada ponto.
  3. Aplicamos a fórmula dos trapézios:
Onde .

Passo 4

Após calcular a integral para D(0,5) = 24 times I1 , obtemos um valor aproximado, digamos .
Então, substituímos de volta na fórmula de :
Esse será o valor de para .

Passo 5

Repitamos o mesmo processo para D(x)=310^3 integral0^10 x^3e^x-1 dx = 31000 integral0^10 x^3e^x-1 dx .
Substituímos D(10) = 31000 times I2 na fórmula:
Usando novamente o Método dos Trapézios com para maior precisão devido ao maior intervalo, calculamos a integral e obtemos .
Então:

Resposta

Após os cálculos, os valores aproximados da função de Debye são:
  • Para D(0,5) approx [valor calculado] :
D(10) approx [valor calculado]
  • Para :
Obs: Os valores exatos dependem da precisão dos cálculos numéricos realizados. Recomenda-se utilizar ferramentas computacionais ou calculadoras científicas para obter resultados mais precisos.

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