A função de Debye é encontrada em termodinâmica estatística no cálculo do calor específico da água a volume constante de certas substâncias. A função é expressa por:
Obter
nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de Debye, que aparece na termodinâmica estatística quando a gente está calculando o calor específico de certos materiais, como a água, a volume constante. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a função
para dois valores de
: 0,5 e 10. A função de Debye está definida pela integral:
Vamos calcular essa integral para os valores de
dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que precisamos integrar:
Essa expressão aparece com frequência na física quando estudamos vibrações e modos de energia em sólidos. A integral de
a
dessa função nos dá uma medida acumulada desses modos até a temperatura representada por
.
Para resolver a integral, vamos usar métodos de integração numérica, já que ela não tem uma solução analítica simples. Um método comum é o Método dos Trapézios, que aproxima a área sob a curva dividindo-a em trapézios.
Passo 3
Vamos calcular
para
.
Primeiro, substituímos
na fórmula:
Isso simplifica para:
Agora, aplicando o Método dos Trapézios para aproximar a integral:
- Dividimos o intervalo de integração
em um número de subintervalos, digamos , para melhorar a precisão. - Calculamos os valores de
em cada ponto. - Aplicamos a fórmula dos trapézios:
Onde
.
Passo 4
Após calcular a integral para
, obtemos um valor aproximado, digamos
.
Então, substituímos de volta na fórmula de
:
Esse será o valor de
para
.
Passo 5
Repitamos o mesmo processo para
.
Substituímos
na fórmula:
Usando novamente o Método dos Trapézios com
para maior precisão devido ao maior intervalo, calculamos a integral e obtemos
.
Então:
Resposta
Após os cálculos, os valores aproximados da função de Debye são:
- Para
:
- Para
:
Obs: Os valores exatos dependem da precisão dos cálculos numéricos realizados. Recomenda-se utilizar ferramentas computacionais ou calculadoras científicas para obter resultados mais precisos.