A reta tangente à curva y=ln x no ponto (p, q) forma um ângulo de 45^circ com o eixo das abscissas. Nessas condições, a soma de p com q é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas e geometria das retas. A questão nos diz que a reta tangente à curva no ponto forma um ângulo de com o eixo das abscissas. Precisamos encontrar a soma de com .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A função dada é y' = 1x . Vamos encontrar a derivada dessa função.
A derivada de é:

Passo 3

Sabemos que a inclinação da reta tangente é igual à derivada no ponto m = 1p . Então, a inclinação da tangente é:

Passo 4

A inclinação m = tan theta também está relacionada ao ângulo m = tan 45^circ = 1 que a reta forma com o eixo das abscissas através da tangente do ângulo:
Dado que , temos:

Passo 5

Igualando as duas expressões para 1p = 1 :
p = 1
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, sabemos que q = ln 1 = 0 . Substituindo :

Resposta

A soma de com é . Resposta: a) 1

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