A função
tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], em
. Tomando
, faça algumas iterações do método da bisseção para resolver a equação
adotando como tolerância
. A sequência gerada pelo método converge para a solução da equação no itervalo
? Caso não convirja, explique o motivo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e sabemos que ela tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], que é em
. O objetivo é usar o método da bisseção para resolver a equação
com uma tolerância de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção, aplicar algumas iterações nesse método e verificar se a sequência gerada realmente converge para a solução no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e escolher a metade onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está lá. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja dentro da tolerância desejada.
Passo 3
Vamos começar com o intervalo inicial
. Precisamos verificar os valores de
e
para confirmar que há uma mudança de sinal, ou seja,
.
Calculando:
Como
, há pelo menos uma raiz no intervalo.
Passo 4
Agora, vamos iniciar as iterações do método. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 2:
Agora,
, então a raiz está no intervalo
.
Iteração 3:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre os limites do intervalo seja menor que nossa tolerância
.
Iteração 4:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 5:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 6:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Continuando as iterações até atingir a tolerância:
Iteração 7:
Continuamos esse processo até que
. Após algumas iterações adicionais, veremos que o ponto médio se aproxima cada vez mais de 1.
Resposta
Após realizar várias iterações do método da bisseção com a tolerância
, a sequência gerada converge para
, que é a solução da equação
no intervalo [0, 3].
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Use
formato real longo de 64 bits para determinar 0 equivalente decimal dos seguintes números de máquina em ponto flutuante.
0100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
0100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
Efetue os seguintes cálculos (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos,
(iii) usando aritmética de arredondamento, com três algarismos. (iv) Calcule os erros relativos nas partes (ii) e (iii).
O método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação
? Justifique.
Obtenha uma função
de forma que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a
.