A função
tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], em
. Tomando
, faça algumas iterações do método da bisseção para resolver a equação
adotando como tolerância
. A sequência gerada pelo método converge para a solução da equação no itervalo
? Caso não convirja, explique o motivo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e sabemos que ela tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], que é em
. O objetivo é usar o método da bisseção para resolver a equação
com uma tolerância de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção, aplicar algumas iterações nesse método e verificar se a sequência gerada realmente converge para a solução no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e escolher a metade onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está lá. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja dentro da tolerância desejada.
Passo 3
Vamos começar com o intervalo inicial
. Precisamos verificar os valores de
e
para confirmar que há uma mudança de sinal, ou seja,
.
Calculando:
Como
, há pelo menos uma raiz no intervalo.
Passo 4
Agora, vamos iniciar as iterações do método. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 2:
Agora,
, então a raiz está no intervalo
.
Iteração 3:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre os limites do intervalo seja menor que nossa tolerância
.
Iteração 4:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 5:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Iteração 6:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Continuando as iterações até atingir a tolerância:
Iteração 7:
Continuamos esse processo até que
. Após algumas iterações adicionais, veremos que o ponto médio se aproxima cada vez mais de 1.
Resposta
Após realizar várias iterações do método da bisseção com a tolerância
, a sequência gerada converge para
, que é a solução da equação
no intervalo [0, 3].