A função f(x)=x^2-2 x+1x^2-x-2 tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], em x=1. Tomando [a0, b0]=[0,3], faça algumas iterações do método da bisseção para resolver a equação f(x)=0 adotando como tolerância epsilon=10^-3. A sequência gerada pelo método converge para a solução da equação no itervalo [0,3] ? Caso não convirja, explique o motivo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e sabemos que ela tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], que é em . O objetivo é usar o método da bisseção para resolver a equação com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção, aplicar algumas iterações nesse método e verificar se a sequência gerada realmente converge para a solução no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e escolher a metade onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está lá. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja dentro da tolerância desejada.

Passo 3

Vamos começar com o intervalo inicial f(0) = 0^2 - 2 times 0 + 10^2 - 0 - 2 = 1-2 = -0,5 . Precisamos verificar os valores de f(3) = 3^2 - 2 times 3 + 13^2 - 3 - 2 = 9 - 6 + 19 - 3 - 2 = 44 = 1 e para confirmar que há uma mudança de sinal, ou seja, .
Calculando:
Como , há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 4

Agora, vamos iniciar as iterações do método. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
a1 = 0
b1 = 3
c1 = a1 + b12 = 0 + 32 = 1,5
f(1,5) = (1,5)^2 - 2 times 1,5 + 1(1,5)^2 - 1,5 - 2 = 2,25 - 3 + 12,25 - 1,5 - 2 = 0,25-1,25 = -0,2
Como a2 = 1,5 , a raiz está no intervalo b2 = 3 .
Iteração 2:
c2 = 1,5 + 32 = 2,25
f(2,25) = (2,25)^2 - 2 times 2,25 + 1(2,25)^2 - 2,25 - 2 = 5,0625 - 4,5 + 15,0625 - 2,25 - 2 = 1,56250,8125 approx 1,923
a3 = 1,5
b3 = 2,25
Agora, c3 = 1,5 + 2,252 = 1,875 , então a raiz está no intervalo f(1,875) = (1,875)^2 - 2 times 1,875 + 1(1,875)^2 - 1,875 - 2 = 3,515625 - 3,75 + 13,515625 - 1,875 - 2 = 0,765625-0,359375 approx -2,128 .
Iteração 3:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos continuar esse processo até que a diferença entre os limites do intervalo seja menor que nossa tolerância a4 = 1,875 .
Iteração 4:
b4 = 2,25
c4 = 1,875 + 2,252 = 2,0625
f(2,0625) = (2,0625)^2 - 2 times 2,0625 + 1(2,0625)^2 - 2,0625 - 2 approx 4,25390625 - 4,125 + 14,25390625 - 2,0625 - 2 approx 1,128906250,19140625 approx 5,893
a5 = 1,875
Como b5 = 2,0625 , a raiz está no intervalo c5 = 1,875 + 2,06252 = 1,96875 .
Iteração 5:
f(1,96875) approx (1,96875)^2 - 2 times 1,96875 + 1(1,96875)^2 - 1,96875 - 2 approx 3,877 - 3,9375 + 13,877 - 1,96875 - 2 approx 0,9395-0,0918 approx -10,24
a6 = 1,96875
b6 = 2,0625
c6 = 1,96875 + 2,06252 = 2,015625
Como f(2,015625) approx (2,015625)^2 - 2 times 2,015625 + 1(2,015625)^2 - 2,015625 - 2 approx 4,0625 - 4,03125 + 14,0625 - 2,015625 - 2 approx 1,031250,046875 approx 22 , a raiz está no intervalo .
Iteração 6:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuando as iterações até atingir a tolerância:
Iteração 7:
a7 = 1,96875
b7 = 2,015625
c7 = 1,96875 + 2,0156252 = 1,9921875
f(1,9921875) approx Calcula-se o valor de f(1,9921875)
Continuamos esse processo até que . Após algumas iterações adicionais, veremos que o ponto médio se aproxima cada vez mais de 1.

Resposta

Após realizar várias iterações do método da bisseção com a tolerância , a sequência gerada converge para , que é a solução da equação no intervalo [0, 3].

Exercícios relacionados