A função tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], em . Tomando , faça algumas iterações do método da bisseção para resolver a equação adotando como tolerância . A sequência gerada pelo método converge para a solução da equação no itervalo ? Caso não convirja, explique o motivo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e sabemos que ela tem exatamente um zero no intervalo [0, 3], que é em . O objetivo é usar o método da bisseção para resolver a equação com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da bisseção, aplicar algumas iterações nesse método e verificar se a sequência gerada realmente converge para a solução no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir o intervalo em duas partes e escolher a metade onde a função muda de sinal, garantindo que a raiz está lá. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja dentro da tolerância desejada.

Passo 3

Vamos começar com o intervalo inicial . Precisamos verificar os valores de e para confirmar que há uma mudança de sinal, ou seja, .
Calculando:
Como , há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 4

Agora, vamos iniciar as iterações do método. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Iteração 1:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 2:
Agora, , então a raiz está no intervalo .
Iteração 3:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Vamos continuar esse processo até que a diferença entre os limites do intervalo seja menor que nossa tolerância .
Iteração 4:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 5:
Como , a raiz está no intervalo .
Iteração 6:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuando as iterações até atingir a tolerância:
Iteração 7:
Continuamos esse processo até que . Após algumas iterações adicionais, veremos que o ponto médio se aproxima cada vez mais de 1.

Resposta

Após realizar várias iterações do método da bisseção com a tolerância , a sequência gerada converge para , que é a solução da equação no intervalo [0, 3].

Exercícios relacionados

Use formato real longo de 64 bits para determinar 0 equivalente decimal dos seguintes números de máquina em ponto flutuante.
0100000010101001001100000000000000000000000000000000000000000000
Efetue os seguintes cálculos (i) exatamente, (ii) usando aritmética de truncamento, com três algarismos, (iii) usando aritmética de arredondamento, com três algarismos. (iv) Calcule os erros relativos nas partes (ii) e (iii).
O método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação ? Justifique.
Obtenha uma função de forma que a equação tenha uma raiz no mesmo valor de que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a .