Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem
de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre cebolas e queremos descobrir a área da casca de 600 g de cebolas pequenas, assumindo que elas são esféricas. Além disso, já sabemos que 600 g de cebolas grandes têm uma área de casca de
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria espacial, especialmente o cálculo de áreas de superfícies de esferas, e algumas relações de proporcionalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de uma esfera é dada pela fórmula:
onde
é a área e
é o raio da esfera.
Passo 3
Como as cebolas são assumidas esféricas, podemos usar essa fórmula para calcular a área da casca. Para isso, precisamos relacionar a massa das cebolas com o raio.
Passo 4
Sabemos que a massa (
) de uma esfera está relacionada ao seu volume (
) pela densidade (
):
E o volume de uma esfera é:
Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Vamos assumir que a densidade das cebolas é a mesma, tanto para as pequenas quanto para as grandes. Assim, podemos relacionar as massas e volumes das cebolas pequenas e grandes.
Passo 6
Dado que 600 g de cebolas grandes têm uma área de casca de
, podemos encontrar o raio das cebolas grandes usando a fórmula da área:
Simplificando:
Passo 7
Agora, como a massa é a mesma, vamos encontrar o raio das cebolas pequenas. Como a densidade é constante:
Isso implica que:
Então:
Mas isso não faz sentido, pois se os raios são iguais, as áreas seriam iguais. Aqui, percebemos que precisamos considerar o número de cebolas. Se forem pequenas, teremos mais cebolas para a mesma massa.
Passo 8
Vamos considerar que as cebolas pequenas têm um raio menor, digamos
, e que precisamos encontrar quantas cebolas pequenas existem em 600 g. A relação entre as áreas será proporcional ao número de cebolas multiplicado pela área de cada uma.
Passo 9
Seja
o número de cebolas pequenas. Então:
E como a massa é a mesma:
Simplificando:
Passo 10
Portanto, o número de cebolas pequenas é:
Passo 11
Agora, substituímos
na fórmula da área total das cascas das pequenas:
Isso mostra que a área total das cascas das pequenas será maior que a das grandes se
.
Resposta
As cebolas pequenas, assumindo serem esféricas, possuem uma área de casca maior que as grandes para a mesma massa de 600 g. Portanto, as cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas.