Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192 pi cm^2 de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre cebolas e queremos descobrir a área da casca de 600 g de cebolas pequenas, assumindo que elas são esféricas. Além disso, já sabemos que 600 g de cebolas grandes têm uma área de casca de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria espacial, especialmente o cálculo de áreas de superfícies de esferas, e algumas relações de proporcionalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de uma esfera é dada pela fórmula:
A = 4pi r^2
onde é a área e é o raio da esfera.

Passo 3

Como as cebolas são assumidas esféricas, podemos usar essa fórmula para calcular a área da casca. Para isso, precisamos relacionar a massa das cebolas com o raio.

Passo 4

Sabemos que a massa ( m = rho V ) de uma esfera está relacionada ao seu volume ( V = 43pi r^3 ) pela densidade ( m = rho (43pi r^3) ):
E o volume de uma esfera é:
Portanto, podemos escrever:

Passo 5

Vamos assumir que a densidade das cebolas é a mesma, tanto para as pequenas quanto para as grandes. Assim, podemos relacionar as massas e volumes das cebolas pequenas e grandes.

Passo 6

Dado que 600 g de cebolas grandes têm uma área de casca de 192pi = 4pi rgrande^2 , podemos encontrar o raio das cebolas grandes usando a fórmula da área:
192 = 4 rgrande^2 implies rgrande^2 = 48 implies rgrande = raiz48 approx 6,928, cm
Simplificando:

Passo 7

Agora, como a massa é a mesma, vamos encontrar o raio das cebolas pequenas. Como a densidade é constante:
mVgrande = mVpequena
Isso implica que:
Vgrande = Vpequena implies 43pi rgrande^3 = 43pi rpequena^3
Então:
rgrande^3 = rpequena^3 implies rpequena = raiz[3]rgrande^3 = rgrande
Mas isso não faz sentido, pois se os raios são iguais, as áreas seriam iguais. Aqui, percebemos que precisamos considerar o número de cebolas. Se forem pequenas, teremos mais cebolas para a mesma massa.

Passo 8

Vamos considerar que as cebolas pequenas têm um raio menor, digamos , e que precisamos encontrar quantas cebolas pequenas existem em 600 g. A relação entre as áreas será proporcional ao número de cebolas multiplicado pela área de cada uma.

Passo 9

Seja n cdot 4pi rpequena^2 = Área total das cascas das pequenas o número de cebolas pequenas. Então:
n cdot 43pi rpequena^3 = 43pi rgrande^3 Á
E como a massa é a mesma:
n cdot rpequena^3 = rgrande^3
Simplificando:

Passo 10

Portanto, o número de cebolas pequenas é:
n = (rgranderpequena)^3

Passo 11

Agora, substituímos Área total = (rgranderpequena)^3 cdot 4pi rpequena^2 = 4pi rgrande^3 cdot 1rpequena na fórmula da área total das cascas das pequenas:
Á
Isso mostra que a área total das cascas das pequenas será maior que a das grandes se .

Resposta

As cebolas pequenas, assumindo serem esféricas, possuem uma área de casca maior que as grandes para a mesma massa de 600 g. Portanto, as cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas.

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