Utilizando a regra de Cramer resolva os sistemas lineares abaixo: c5 x-2 y+2 z=2 3 x+y+4 z=-1 4 x-3 y+z=3

Passo 1

Ok, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
5x - 2y + 2z = 2 3x + y + 4z = -1 4x - 3y + z = 3
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a Regra de Cramer funciona para encontrar as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular o seu determinante ( D = 5 & -2 & 2 3 & 1 & 4 4 & -3 & 1 ). A matriz dos coeficientes é:
Vamos calcular usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores.

Passo 3

Calculando o determinante D = 5 cdot (1 cdot 1 - 4 cdot (-3)) - (-2) cdot (3 cdot 1 - 4 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-3) - 1 cdot 4) :
D = 5 cdot (1 + 12) - (-2) cdot (3 - 16) + 2 cdot (-9 - 4)
D = 5 cdot 13 + 2 cdot 13 + 2 cdot (-13)
D = 65 + 26 - 26 = 65
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar Dx = 2 & -2 & 2 -1 & 1 & 4 3 & -3 & 1 , que é o determinante da matriz onde substituímos a coluna dos coeficientes de pelos termos constantes do sistema:
Vamos calcular .

Passo 5

Calculando Dx = 2 cdot (1 cdot 1 - 4 cdot (-3)) - (-2) cdot (-1 cdot 1 - 4 cdot 3) + 2 cdot (-1 cdot (-3) - 1 cdot 3) :
Dx = 2 cdot (1 + 12) - (-2) cdot (-1 - 12) + 2 cdot (3 - 3)
Dx = 2 cdot 13 - 2 cdot 13 + 2 cdot 0
Dx = 26 - 26 + 0 = 0
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar Dy = 5 & 2 & 2 3 & -1 & 4 4 & 3 & 1 , substituindo a coluna dos pelos termos constantes:
Vamos calcular .

Passo 7

Calculando Dy = 5 cdot (-1 cdot 1 - 4 cdot 3) - 2 cdot (3 cdot 1 - 4 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot 3 - (-1) cdot 4) :
Dy = 5 cdot (-1 - 12) - 2 cdot (3 - 16) + 2 cdot (9 + 4)
Dy = 5 cdot (-13) - 2 cdot (-13) + 2 cdot 13
Dy = -65 + 26 + 26 = -13
Então, .

Passo 8

Por último, vamos encontrar Dz = 5 & -2 & 2 3 & 1 & -1 4 & -3 & 3 , substituindo a coluna dos pelos termos constantes:
Vamos calcular .

Passo 9

Calculando Dz = 5 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (-3)) - (-2) cdot (3 cdot 3 - (-1) cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-3) - 1 cdot 4) :
Dz = 5 cdot (3 - 3) - (-2) cdot (9 - (-4)) + 2 cdot (-9 - 4)
Dz = 5 cdot 0 + 2 cdot 13 + 2 cdot (-13)
Dz = 0 + 26 - 26 = 0
Então, .

Passo 10

Agora, aplicando a Regra de Cramer, temos:
x = DxD = 065 = 0
y = DyD = -1365 = -15
z = DzD = 065 = 0

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = -15, z = 0

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