II) [ccc7 & 6 & 9 4 & 5 & -4 -7 & -3 & 8][lx y z]=[c-1 7 -19]
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
Método de Gauss Seidel

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de três equações com três incógnitas usando o Método de Gauss-Seidel. A gente vai precisar entender como esse método funciona, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações das soluções. Vamos resolver o sistema passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
7x + 6y + 9z = -1 4x + 5y - 4z = 7 -7x - 3y + 8z = -19
No Método de Gauss-Seidel, a gente reorganiza cada equação para isolar uma variável. Vamos isolar x = -1 - 6y - 9z7 y = 7 - 4x + 4z5 z = -19 + 7x + 3y8 , e respectivamente:

Passo 3

Agora, precisamos escolher valores iniciais para , e . Vamos começar com , e .

Passo 4

Vamos fazer a primeira iteração para encontrar x^(1) = -1 - 6(0) - 9(0)7 = -17 approx -0,1429 y^(1) = 7 - 4(0) + 4(0)5 = 75 = 1,4 z^(1) = -19 + 7(0) + 3(0)8 = -198 approx -2,375 , e :

Passo 5

Agora, usamos os valores da primeira iteração para encontrar os próximos valores:
x^(2) = -1 - 6(1,4) - 9(-2,375)7 = -1 - 8,4 + 21,3757 = 11,9757 approx 1,7107 y^(2) = 7 - 4(-0,1429) + 4(-2,375)5 = 7 + 0,5716 - 9,55 = -1,92845 approx -0,3857 z^(2) = -19 + 7(-0,1429) + 3(1,4)8 = -19 - 1 + 4,28 = -15,88 approx -1,975

Passo 6

Continuamos com as próximas iterações até que os valores comecem a se estabilizar. Vamos fazer mais uma iteração:
x^(3) = -1 - 6(-0,3857) - 9(-1,975)7 = -1 + 2,3142 + 17,7757 = 19,08927 approx 2,7270 y^(3) = 7 - 4(1,7107) + 4(-1,975)5 = 7 - 6,8428 - 7,95 = -7,74285 approx -1,5486 z^(3) = -19 + 7(1,7107) + 3(-0,3857)8 = -19 + 11,975 - 1,15718 = -8,18218 approx -1,0228

Passo 7

Repetimos o processo até que a diferença entre as iterações seja pequena o suficiente. Após algumas iterações, os valores se aproximam de:
x approx 1 y approx 2 z approx -2

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel é:
x approx 1, y approx 2, z approx -2

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