Verifique se y=14-x^2 é solução y^prime=2 x y^2. Determine ao menos um intervalo de existência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é solução da equação diferencial . Além disso, vamos encontrar um intervalo onde essa solução existe. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente precisa calcular a derivada dessa função e ver se ela satisfaz a equação dada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y' = -u'u^2 = --2x(4 - x^2)^2 = 2x(4 - x^2)^2 . Para isso, usamos a regra da derivada de uma função do tipo , que é .
Aqui, , então .
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir 2x y^2 = 2x cdot 1(4 - x^2)^2 = 2x(4 - x^2)^2 na equação e ver se os dois lados são iguais.
Sabemos que , então .
Substituindo na equação diferencial:

Passo 5

Comparando com a derivada que calculamos:
y' = 2x(4 - x^2)^2 e 2x y^2 = 2x(4 - x^2)^2
Vemos que , ou seja, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos determinar um intervalo de existência para a solução. Olhando para a função 4 - x^2 neq 0 implies x^2 neq 4 implies x neq pm 2 , a gente observa que o denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero.
Então,
Isso significa que a função está definida para todos os valores de exceto e .

Resposta

A função é solução da equação diferencial no intervalo .

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