Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o Método de Newton. A ideia é encontrar uma aproximação da solução
dentro do intervalo [0.01, 1] com um erro menor que 0.001. Para isso, precisamos saber um pouco sobre cálculo, especialmente sobre derivadas, já que o Método de Newton usa a inclinação da função para encontrar a raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos igualar a zero. Aqui, nossa função é:
E precisamos encontrar
tal que
.
Passo 3
Agora, para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
Vamos começar com uma aproximação inicial
.
Passo 5
Vamos calcular
usando a fórmula:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Então,
Passo 7
Vamos calcular
:
Então,
Passo 8
Vamos calcular
:
Então,
Passo 9
Vamos calcular
:
Então,
Passo 10
Vamos calcular
para verificar se alcançamos a precisão desejada:
Então,
Como a diferença entre
e
é menor que 0.001, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A aproximação da solução
é
.