Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A ideia é encontrar uma aproximação da solução dentro do intervalo [0.01, 1] com um erro menor que 0.001. Para isso, precisamos saber um pouco sobre cálculo, especialmente sobre derivadas, já que o Método de Newton usa a inclinação da função para encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos igualar a zero. Aqui, nossa função é:
E precisamos encontrar tal que .

Passo 3

Agora, para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função. A derivada de em relação a é:

Passo 4

O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
Vamos começar com uma aproximação inicial .

Passo 5

Vamos calcular usando a fórmula:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Então,

Passo 7

Vamos calcular :
Então,

Passo 8

Vamos calcular :
Então,

Passo 9

Vamos calcular :
Então,

Passo 10

Vamos calcular para verificar se alcançamos a precisão desejada:
Então,
Como a diferença entre e é menor que 0.001, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação da solução é .

Exercícios relacionados

Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial ;
II)
Resolva cada sistema usando os seguintes métodos, descrevendo o passo a passo na sua solução:
Método de Gauss Seidel
Seja a equação . Mostre que esta equação é equivalente à equação , onde . Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função e a aproximação inicial , calcule os 9 termos seguintes da sequência .
É possível concluir que a sequência está convergindo para ?
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .