Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que varepsilon=0.001.
ln x-x+2=0 ; barx in[0.01,1], com aproximação inicial x0=0.01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação ln x - x + 2 = 0 usando o Método de Newton. A ideia é encontrar uma aproximação da solução barx dentro do intervalo [0.01, 1] com um erro menor que 0.001. Para isso, precisamos saber um pouco sobre cálculo, especialmente sobre derivadas, já que o Método de Newton usa a inclinação da função para encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos igualar a zero. Aqui, nossa função é:
f(x) = ln x - x + 2
E precisamos encontrar x tal que f(x) = 0.

Passo 3

Agora, para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função. A derivada de f(x) em relação a x é:
f'(x) = 1x - 1

Passo 4

O Método de Newton usa a fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com uma aproximação inicial x0 = 0.01.

Passo 5

Vamos calcular x1 usando a fórmula:
f(x0) = ln(0.01) - 0.01 + 2 approx -4.6052 - 0.01 + 2 = -2.6152
f'(x0) = 10.01 - 1 = 100 - 1 = 99
Então,
x1 = 0.01 - -2.615299 approx 0.01 + 0.0264 = 0.0364

Passo 6

Agora, vamos calcular x2:
f(x1) = ln(0.0364) - 0.0364 + 2 approx -3.3135 - 0.0364 + 2 = -1.3499
f'(x1) = 10.0364 - 1 approx 27.47 - 1 = 26.47
Então,
x2 = 0.0364 - -1.349926.47 approx 0.0364 + 0.0510 = 0.0874

Passo 7

Vamos calcular x3:
f(x2) = ln(0.0874) - 0.0874 + 2 approx -2.4372 - 0.0874 + 2 = -0.5246
f'(x2) = 10.0874 - 1 approx 11.43 - 1 = 10.43
Então,
x3 = 0.0874 - -0.524610.43 approx 0.0874 + 0.0503 = 0.1377

Passo 8

Vamos calcular x4:
f(x3) = ln(0.1377) - 0.1377 + 2 approx -1.9808 - 0.1377 + 2 = -0.1185
f'(x3) = 10.1377 - 1 approx 7.27 - 1 = 6.27
Então,
x4 = 0.1377 - -0.11856.27 approx 0.1377 + 0.0189 = 0.1566

Passo 9

Vamos calcular x5:
f(x4) = ln(0.1566) - 0.1566 + 2 approx -1.8568 - 0.1566 + 2 = -0.0134
f'(x4) = 10.1566 - 1 approx 6.39 - 1 = 5.39
Então,
x5 = 0.1566 - -0.01345.39 approx 0.1566 + 0.0025 = 0.1591

Passo 10

Vamos calcular x6 para verificar se alcançamos a precisão desejada:
f(x5) = ln(0.1591) - 0.1591 + 2 approx -1.8411 - 0.1591 + 2 = -0.0002
f'(x5) = 10.1591 - 1 approx 6.289 - 1 = 5.289
Então,
x6 = 0.1591 - -0.00025.289 approx 0.1591 + 0.00004 = 0.15914
Como a diferença entre x6 e x5 é menor que 0.001, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação da solução barx é 0.159.

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