Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Newton para achar uma aproximação da solução da equação
no intervalo entre -2.5 e -1. A gente começa com uma estimativa inicial de
e precisa que o erro absoluto seja menor que
. Vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicar ele passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que queremos resolver. A equação dada é
, então podemos definir nossa função como:
Para aplicar o Método de Newton, também precisamos da derivada dessa função. Vamos calcular:
Passo 3
Agora, o Método de Newton nos diz que a próxima aproximação,
, é dada por:
Vamos começar com
e calcular
usando essa fórmula.
Passo 4
Calculando
e
:
Agora, aplicando a fórmula do Método de Newton:
Passo 5
Vamos verificar a diferença entre
e
para ver se já atingimos o erro menor que 0.001:
Como o erro ainda é maior que 0.001, precisamos continuar o processo.
Passo 6
Calculando
e
:
Aplicando novamente a fórmula:
Passo 7
Verificando o erro:
Ainda não atingimos o nível de precisão desejado, então seguimos.
Passo 8
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula novamente:
Resposta
Aproximando com o Método de Newton, a solução
da equação
no intervalo [-2.5, -1] com erro absoluto menor que 0.001 é aproximadamente
.