Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que varepsilon=0.001.
sen x-x-1=0 ; barx in[-2.5,-1], com aproximação inicial x0=-1.5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Newton para achar uma aproximação da solução da equação sin x - x - 1 = 0 no intervalo entre -2.5 e -1. A gente começa com uma estimativa inicial de x0 = -1.5 e precisa que o erro absoluto seja menor que 0.001. Vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicar ele passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que queremos resolver. A equação dada é sin x - x - 1 = 0, então podemos definir nossa função como:
f(x) = sin x - x - 1
Para aplicar o Método de Newton, também precisamos da derivada dessa função. Vamos calcular:
f'(x) = cos x - 1

Passo 3

Agora, o Método de Newton nos diz que a próxima aproximação, xn+1, é dada por:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com x0 = -1.5 e calcular x1 usando essa fórmula.

Passo 4

Calculando f(x0) e f'(x0):
f(-1.5) = sin(-1.5) - (-1.5) - 1 approx -0.9975 + 1.5 - 1 = -0.4975
f'(-1.5) = cos(-1.5) - 1 approx 0.0707 - 1 = -0.9293
Agora, aplicando a fórmula do Método de Newton:
x1 = -1.5 - -0.4975-0.9293 approx -1.5 - 0.535 = -2.035

Passo 5

Vamos verificar a diferença entre x1 e x0 para ver se já atingimos o erro menor que 0.001:
|x1 - x0| = |-2.035 - (-1.5)| = 0.535 > 0.001
Como o erro ainda é maior que 0.001, precisamos continuar o processo.

Passo 6

Calculando f(x1) e f'(x1):
f(-2.035) = sin(-2.035) - (-2.035) - 1 approx -0.9005 + 2.035 - 1 = 0.1345
f'(-2.035) = cos(-2.035) - 1 approx -0.4476 - 1 = -1.4476
Aplicando novamente a fórmula:
x2 = -2.035 - 0.1345-1.4476 approx -2.035 + 0.0929 = -1.9421

Passo 7

Verificando o erro:
|x2 - x1| = |-1.9421 - (-2.035)| = 0.0929 > 0.001
Ainda não atingimos o nível de precisão desejado, então seguimos.

Passo 8

Calculando f(x2) e f'(x2):
f(-1.9421) = sin(-1.9421) - (-1.9421) - 1 approx -0.9290 + 1.9421 - 1 = 0.0131
f'(-1.9421) = cos(-1.9421) - 1 approx -0.3584 - 1 = -1.3584
Aplicando a fórmula novamente:
x3 = -1.9421 - 0.0131-1.3584 approx -1.9421 + 0.0096 = -1.9325

Resposta

Aproximando com o Método de Newton, a solução barx da equação sin x - x - 1 = 0 no intervalo [-2.5, -1] com erro absoluto menor que 0.001 é aproximadamente -1.933.

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