Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a)
, com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando o Método de Euler. O problema pede para a gente achar uma aproximação da solução da equação diferencial
no intervalo de
de 0 a 1, começando com a condição inicial
e usando um passo
. Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona e aplicar passo a passo para encontrar os valores aproximados de
nos pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica simples para resolver equações diferenciais ordinárias. A ideia é aproximar a solução avançando em pequenos passos
a partir de um ponto inicial, usando a derivada para estimar o próximo valor.
A fórmula do Método de Euler é:
onde
é a função que define a equação diferencial
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Ponto inicial:
, - Passo:
- Função
Vamos calcular os valores para
e
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
em
.
Usamos a fórmula de Euler:
Vamos calcular
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
em
.
Usamos novamente a fórmula de Euler:
Primeiro, calculamos
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A aproximação da solução usando o Método de Euler para
é aproximadamente
.
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Determine o polinômio interpolador de quarta ordem via Forma de Newton. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a
.
Para
, as derivadas de
são limitadas como segue:
Se
é dada com quatro casas decimais para
, qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de
para
? Justifique sua resposta.
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com
.
(b)
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) .
Solução exata: .
(a)
Solução exata: