Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) y^prime=t e^3 t-2 y, 0 <= t <= 1, y(0)=0, com h=0,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando o Método de Euler. O problema pede para a gente achar uma aproximação da solução da equação diferencial no intervalo de de 0 a 1, começando com a condição inicial e usando um passo . Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona e aplicar passo a passo para encontrar os valores aproximados de nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica simples para resolver equações diferenciais ordinárias. A ideia é aproximar a solução avançando em pequenos passos yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn) a partir de um ponto inicial, usando a derivada para estimar o próximo valor.
A fórmula do Método de Euler é:
onde é a função que define a equação diferencial .

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Ponto inicial: ,
  • Passo:
  • Função
Vamos calcular os valores para e .

Passo 4

Primeiro, calculamos y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) em f(0, 0) = 0 cdot e^0 - 2 cdot 0 = 0 .
Usamos a fórmula de Euler:
y1 = 0 + 0,5 cdot 0 = 0
Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular y2 = y1 + h cdot f(t1, y1) em f(0,5, 0) = 0,5 cdot e^3 cdot 0,5 - 2 cdot 0 .
Usamos novamente a fórmula de Euler:
f(0,5, 0) = 0,5 cdot e^1,5
Primeiro, calculamos f(0,5, 0) approx 0,5 cdot 4,4817 approx 2,24085 :
y2 = 0 + 0,5 cdot 2,24085
y2 approx 1,120425
Calculando :
Então:

Resposta

A aproximação da solução usando o Método de Euler para é aproximadamente .

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