Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(a) , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando o Método de Euler. O problema pede para a gente achar uma aproximação da solução da equação diferencial no intervalo de de 0 a 1, começando com a condição inicial e usando um passo . Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona e aplicar passo a passo para encontrar os valores aproximados de nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica simples para resolver equações diferenciais ordinárias. A ideia é aproximar a solução avançando em pequenos passos a partir de um ponto inicial, usando a derivada para estimar o próximo valor.
A fórmula do Método de Euler é:
onde é a função que define a equação diferencial .

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Ponto inicial: ,
  • Passo:
  • Função
Vamos calcular os valores para e .

Passo 4

Primeiro, calculamos em .
Usamos a fórmula de Euler:
Vamos calcular :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular em .
Usamos novamente a fórmula de Euler:
Primeiro, calculamos :
Calculando :
Então:

Resposta

A aproximação da solução usando o Método de Euler para é aproximadamente .

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Para , as derivadas de são limitadas como segue:
Se é dada com quatro casas decimais para , qual o grau mínimo que deve ter um polinômio interpolador se queremos quatro casas decimais na aproximação de para ? Justifique sua resposta.
Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) , com .
Use o método de Euler modificado para encontrar aproximações das soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial e compare os resultados com a solução exata.
(a) .
Solução exata: .