integral0^6(cos x+x) d x
pela regra dos trapézios composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de usando a regra dos trapézios composta. O que isso significa? Basicamente, vamos aproximar a área sob a curva dessa função dividindo o intervalo de integração em vários trapézios e somando essas áreas. Precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. Para isso, vamos precisar entender a regra dos trapézios, calcular a segunda derivada da função e determinar quantos trapézios usaremos para atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra dos trapézios composta. A fórmula geral para a aproximação da integral é:
Tn = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b) ]
Onde:
  • é o tamanho de cada subintervalo.
  • é o número de trapézios.
  • e são os limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. O erro na regra dos trapézios é dado por:
ET <= (b - a)^312 n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Então, vamos calcular a segunda derivada da nossa função .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
f'(x) = -sin x + 1
Segunda derivada:
f''(x) = -cos x
Agora, precisamos encontrar o valor máximo absoluto de no intervalo [0, 6].

Passo 5

Sabemos que varia entre -1 e 1, então . Portanto, .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do erro:
0,001 >= (6 - 0)^312 n^2 cdot 1
0,001 >= 21612 n^2
0,001 >= 18n^2

Passo 7

Resolvendo para n^2 >= 180,001 = 18000 :
n >= raiz18000 approx 134,16
n = 135
Como deve ser inteiro, vamos arredondar para cima:

Passo 8

Agora que sabemos que precisamos de 135 trapézios, vamos calcular h = 6 - 0135 = 6135 = 245 approx 0,04444 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da regra dos trapézios com T135 = 0,044442 [ f(0) + 2 sumk=1^134 f(0 + k cdot 0,04444) + f(6) ] e :
Calculando isso, obtemos a aproximação da integral com erro menor que 0,001.

Resposta

Aproximação da integral pela regra dos trapézios composta com erro inferior a 0,001 é aproximadamente 19,347.

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