pela regra dos trapézios composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
usando a regra dos trapézios composta. O que isso significa? Basicamente, vamos aproximar a área sob a curva dessa função dividindo o intervalo de integração em vários trapézios e somando essas áreas. Precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. Para isso, vamos precisar entender a regra dos trapézios, calcular a segunda derivada da função e determinar quantos trapézios usaremos para atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra dos trapézios composta. A fórmula geral para a aproximação da integral é:
Onde:
-
é o tamanho de cada subintervalo. -
é o número de trapézios. -
e são os limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que o erro dessa aproximação seja menor que 0,001. O erro na regra dos trapézios é dado por:
Então, vamos calcular a segunda derivada da nossa função
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo absoluto de
no intervalo [0, 6].
Passo 5
Sabemos que
varia entre -1 e 1, então
. Portanto,
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do erro:
Passo 7
Resolvendo para
:
Como
deve ser inteiro, vamos arredondar para cima:
Passo 8
Agora que sabemos que precisamos de 135 trapézios, vamos calcular
:
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula da regra dos trapézios com
e
:
Calculando isso, obtemos a aproximação da integral com erro menor que 0,001.
Resposta
Aproximação da integral
pela regra dos trapézios composta com erro inferior a 0,001 é aproximadamente 19,347.
Exercícios relacionados
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0,0 | 8 | 16 |
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0,0 | 7,86 | 5,67 |
Aproxime o valor de
dx empregando as regras simples do trapézio e de
de Simpson.
a) aproxime
utilizando interpolação linear com
e
.
b) aproxime utilizando um polinômio interpolador de Lagrange com
e
.
c) estime o limitante superior para o erro.
b) aproxime
c) estime o limitante superior para o erro.
a) usando a regra dos trapézios generalizada.
b) usando a regra de de Simpson.
c) usando a regra de de Simpson.
d) em cada item, determine o limitante superior para o erro.
b) usando a regra de
c) usando a regra de
d) em cada item, determine o limitante superior para o erro.
pela regra de
de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .