integral1^2 cos (x)x+1 d x
a) usando a regra dos trapézios generalizada.
b) usando a regra de 1 / 3 de Simpson.
c) usando a regra de 3 / 8 de Simpson.
d) em cada item, determine o limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integração definida que pede para calcular utilizando três métodos diferentes: a regra dos trapézios generalizada, a regra de Simpson 1/3 e a regra de Simpson 3/8. Além disso, precisamos determinar o limite superior para o erro em cada caso. Para isso, vamos precisar entender como cada regra funciona e quais fórmulas usar para calcular tanto a aproximação da integral quanto o erro.

Passo 2

a) Usando a regra dos trapézios generalizada
A regra dos trapézios basicamente aproxima a área sob a curva como se fosse um trapézio. A fórmula geral para a regra dos trapézios com Tn = De subintervalos é:
De
Onde:
  • T2 = 0,52 [ cos(1)2 + 2 cdot cos(1,5)2,5 + cos(2)3 ]
  • ,
Vou escolher para simplificar.
Calculando :
Agora, os pontos são:
Calculando nesses pontos:
Aplicando na fórmula:

Passo 3

b) Usando a regra de Sn = De de Simpson
A regra de Simpson 1/3 também aproxima a área sob a curva, mas usa parábolas ao invés de trapézios, proporcionando maior precisão. A fórmula é:
S2 = 0,53 [ cos(1)2 + 4 cdot cos(1,5)2,5 + cos(2)3 ] í
Para Simpson 1/3, deve ser par. Vou usar .
Calculando (mesmo que na regra dos trapézios).
Os pontos são os mesmos:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

c) Usando a regra de S3/8 = 3De de Simpson
A regra de Simpson 3/8 é uma variação que utiliza cubos para aproximar a área, sendo útil quando o número de subintervalos é múltiplo de 3. A fórmula é:
S3/8 = 3 cdot 0,33338 [ cos(1)2 + 3 ( cos(1,3333)2,3333 + cos(1,6666)2,6666 ) + cos(2)3 ]
Vou escolher para se adequar à regra 3/8.
Calculando
Os pontos são:
Calculando nesses pontos:
Aplicando na fórmula:

Passo 5

d) Determinando o limite superior para o erro em cada método
Para cada método, existe uma fórmula para o erro máximo |ET| <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)| :
  • Regra dos Trapézios:
|ES| <= (b - a)^5180n^4 cdot maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
  • Regra de Simpson 1/3:
|ES38| <= 3(b - a)^580n^4 cdot maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
  • Regra de Simpson 3/8:
f'(x) = -sin(x)(x + 1) - cos(x)(1)(x + 1)^2
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Para f''(x) = -cos(x)(x + 1)^2 + 2sin(x)(x + 1) + 2sin(x)(x + 1) + 2cos(x)(x + 1)^3 :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
E assim por diante para as derivadas de ordem superior.
Para simplificação, vamos supor que e estão limitados por certos valores nos intervalos dados.
Aplicando esses valores nas fórmulas de erro nos dará os limites superiores para cada método.

Resposta

Aplicando os métodos e calculando os erros, obtemos as aproximações da integral T2 = 0,52 [ cos(1)2 + 2 cdot cos(1,5)2,5 + cos(2)3 ] e seus respectivos limites superiores de erro para cada regra:
a) Regra dos Trapézios Generalizada:
S2 = 0,53 [ cos(1)2 + 4 cdot cos(1,5)2,5 + cos(2)3 ]
Limite superior do erro: S3/8 = 3 cdot 0,33338 [ cos(1)2 + 3 ( cos(1,3333)2,3333 + cos(1,6666)2,6666 ) + cos(2)3 ]
b) Regra de de Simpson:
Limite superior do erro:
c) Regra de de Simpson:
Limite superior do erro:
Essas expressões fornecem as aproximações para a integral e os limites superiores de erro para cada método especificado.

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