a) usando a regra dos trapézios generalizada.
b) usando a regra de de Simpson.
c) usando a regra de de Simpson.
d) em cada item, determine o limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integração definida que pede para calcular utilizando três métodos diferentes: a regra dos trapézios generalizada, a regra de Simpson 1/3 e a regra de Simpson 3/8. Além disso, precisamos determinar o limite superior para o erro em cada caso. Para isso, vamos precisar entender como cada regra funciona e quais fórmulas usar para calcular tanto a aproximação da integral quanto o erro.

Passo 2

a) Usando a regra dos trapézios generalizada
A regra dos trapézios basicamente aproxima a área sob a curva como se fosse um trapézio. A fórmula geral para a regra dos trapézios com subintervalos é:
Onde:
  • ,
Vou escolher para simplificar.
Calculando :
Agora, os pontos são:
Calculando nesses pontos:
Aplicando na fórmula:

Passo 3

b) Usando a regra de de Simpson
A regra de Simpson 1/3 também aproxima a área sob a curva, mas usa parábolas ao invés de trapézios, proporcionando maior precisão. A fórmula é:
í
Para Simpson 1/3, deve ser par. Vou usar .
Calculando (mesmo que na regra dos trapézios).
Os pontos são os mesmos:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

c) Usando a regra de de Simpson
A regra de Simpson 3/8 é uma variação que utiliza cubos para aproximar a área, sendo útil quando o número de subintervalos é múltiplo de 3. A fórmula é:
Vou escolher para se adequar à regra 3/8.
Calculando
Os pontos são:
Calculando nesses pontos:
Aplicando na fórmula:

Passo 5

d) Determinando o limite superior para o erro em cada método
Para cada método, existe uma fórmula para o erro máximo :
  • Regra dos Trapézios:
  • Regra de Simpson 1/3:
  • Regra de Simpson 3/8:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
E assim por diante para as derivadas de ordem superior.
Para simplificação, vamos supor que e estão limitados por certos valores nos intervalos dados.
Aplicando esses valores nas fórmulas de erro nos dará os limites superiores para cada método.

Resposta

Aplicando os métodos e calculando os erros, obtemos as aproximações da integral e seus respectivos limites superiores de erro para cada regra:
a) Regra dos Trapézios Generalizada:
Limite superior do erro:
b) Regra de de Simpson:
Limite superior do erro:
c) Regra de de Simpson:
Limite superior do erro:
Essas expressões fornecem as aproximações para a integral e os limites superiores de erro para cada método especificado.

Exercícios relacionados

pela regra dos trapézios composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .
0,0 8 16
0,0 7,86 5,67
Aproxime o valor de dx empregando as regras simples do trapézio e de de Simpson.
pela regra de de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .
Para determinação da distância, x, percorrida pelo Boeing 727-200 do instante em que toca o solo e para por completo, é feita por meio
Com base nessas informações, resolva os itens abaixo:
a) resolva a integral acima, analiticamente e use .
c) resolva a integral acima, pela regra de de Simpson com 10 subintervalos. Não use o software numérico para esse item.
c) resolva a integral acima, pela regra de de Simpson com 1.001 pontos. Use o software VCN para essa aproximação.
d) nas condições apresentadas no enunciado, esse avião tem condições de pousar no aeroporto Santos Dummont em segurança? Justifique sua resposta.
Dado: a pista desse aeroporto comprimento de 1.323 metros.