integral1,6^5,6(ln (x+8)-2 x) d x
pela regra de 3 / 8 de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de até da função usando a regra de Simpson . Além disso, queremos que o erro dessa aproximação seja menor que . Para isso, vamos precisar entender a regra de Simpson , calcular o número de subintervalos necessário e então aplicar a fórmula para encontrar a aproximação da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra de Simpson integrala^b f(x) , dx approx 3h8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + 3f(x4) + dots + f(xn) ] . Essa é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parabolas. A regra de Simpson é útil quando dividimos o intervalo de integração em múltiplos de 3 subintervalos.
A fórmula da regra de Simpson para subintervalos é:
onde e deve ser múltiplo de 3.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o número de subintervalos |E| <= (b - a) h^480 cdot K que garante que o erro da aproximação seja menor que . O erro da regra de Simpson é dado por:
onde é o valor máximo da derivada quarta de no intervalo , e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada quarta da função f'(x) = 1x + 8 - 2 :
Primeira derivada:
f''(x) = -1(x + 8)^2
Segunda derivada:
f'''(x) = 2(x + 8)^3
Terceira derivada:
f''''(x) = -6(x + 8)^4
Quarta derivada:
Portanto, . Vamos encontrar o valor máximo de no intervalo .

Passo 5

No intervalo K = 69^4 = 66561 approx 0,000915 , varia de a . Como o denominador aumenta com , o valor máximo de ocorre no menor valor de , que é :

Passo 6

Queremos que o erro (b - a) h^480 cdot K < 0,001 seja menor que 4 (4n)^480 cdot 0,000915 < 0,001 . Vamos usar a desigualdade do erro:
4 cdot 25680 cdot n^4 cdot 0,000915 < 0,001
Sabemos que 102480 cdot n^4 cdot 0,000915 < 0,001 e 11,52n^4 < 0,001 . Substituindo na desigualdade:
n^4 > 11,520,001 = 11520
Simplificando:
n > raiz[4]11520 approx 10,72
Como deve ser múltiplo de 3, o menor valor de que satisfaz essa condição é .

Passo 7

Agora que sabemos que h = 412 = 13 approx 0,3333 , vamos calcular :

Passo 8

Vamos aplicar a regra de Simpson x0 = 1,6 + 0 cdot 0,3333 = 1,6 com x1 = 1,6 + 1 cdot 0,3333 approx 1,9333 . Precisamos calcular os valores de x2 = 1,6 + 2 cdot 0,3333 approx 2,2666 para vdots a x12 = 1,6 + 12 cdot 0,3333 approx 5,6 , onde .
Vamos calcular alguns pontos:

Passo 9

Calculando os valores de f(x0) = ln(1,6 + 8) - 2 cdot 1,6 = ln(9,6) - 3,2 approx 2,263 - 3,2 = -0,937 :
Por exemplo:
f(x1) = ln(1,9333 + 8) - 2 cdot 1,9333 approx ln(9,9333) - 3,8666 approx 2,296 - 3,8666 = -1,5706
vdots
f(x12) = ln(5,6 + 8) - 2 cdot 5,6 = ln(13,6) - 11,2 approx 2,614 - 11,2 = -8,586

Passo 10

Aplicando a fórmula da regra de Simpson integral1,6^5,6 (ln(x + 8) - 2x) , dx approx 3h8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + 2f(x3) + dots + f(x12) ] :
approx 3 cdot 0,33338 [ -0,937 + 3(-1,5706) + 3(-2,204) + 2(-2,838) + dots + (-8,586) ]
Substituindo os valores calculados:
approx -18,347
Calculando a soma dentro dos colchetes e multiplicando pelos fatores, obtemos aproximadamente:

Resposta

Portanto, a aproximação da integral usando a regra de Simpson com um erro inferior a é aproximadamente .

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