pela regra de
de Simpson composta, tal que o limitante superior para o erro seja inferior a 0,001 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
até
da função
usando a regra de Simpson
. Além disso, queremos que o erro dessa aproximação seja menor que
. Para isso, vamos precisar entender a regra de Simpson
, calcular o número de subintervalos necessário e então aplicar a fórmula para encontrar a aproximação da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra de Simpson
. Essa é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parabolas. A regra de Simpson
é útil quando dividimos o intervalo de integração em múltiplos de 3 subintervalos.
A fórmula da regra de Simpson
para
subintervalos é:
onde
e
deve ser múltiplo de 3.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o número de subintervalos
que garante que o erro da aproximação seja menor que
. O erro da regra de Simpson
é dado por:
onde
é o valor máximo da derivada quarta de
no intervalo
, e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada quarta da função
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Portanto,
. Vamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
.
Passo 5
No intervalo
,
varia de
a
. Como o denominador
aumenta com
, o valor máximo de
ocorre no menor valor de
, que é
:
Passo 6
Queremos que o erro
seja menor que
. Vamos usar a desigualdade do erro:
Sabemos que
e
. Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Como
deve ser múltiplo de 3, o menor valor de
que satisfaz essa condição é
.
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos calcular
:
Passo 8
Vamos aplicar a regra de Simpson
com
. Precisamos calcular os valores de
para
a
, onde
.
Vamos calcular alguns pontos:
Passo 9
Calculando os valores de
:
Por exemplo:
Passo 10
Aplicando a fórmula da regra de Simpson
:
Substituindo os valores calculados:
Calculando a soma dentro dos colchetes e multiplicando pelos fatores, obtemos aproximadamente:
Resposta
Portanto, a aproximação da integral usando a regra de Simpson
com um erro inferior a
é aproximadamente
.