integral0^6(cos x+x) d x
usando 6 pontos e determine um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de de 0 a 6 usando métodos numéricos com 6 pontos. A gente vai usar a regra de Simpson composta para aproximar o valor da integral e também determinar um limitante superior para o erro dessa aproximação. Para isso, a gente vai precisar entender como usar a regra de Simpson e como calcular o erro máximo esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração h = b - an = 6 - 06 = 1 em 6 subintervalos iguais. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo :
Então, cada subintervalo tem comprimento 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de Simpson composta. A fórmula geral para a regra de Simpson composta com integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumi=1,, ímpar^n-1 f(xi) + 2 sumi=2,, par^n-2 f(xi) + f(xn) ] subintervalos (onde é par) é:
í
Aqui, , , , …, .

Passo 4

Vamos calcular os valores de f(x0) &= f(0) = cos(0) + 0 = 1 f(x1) &= f(1) = cos(1) + 1 approx 0.5403 + 1 = 1.5403 f(x2) &= f(2) = cos(2) + 2 approx -0.4161 + 2 = 1.5839 f(x3) &= f(3) = cos(3) + 3 approx -0.98999 + 3 = 2.0100 f(x4) &= f(4) = cos(4) + 4 approx -0.6536 + 4 = 3.3464 f(x5) &= f(5) = cos(5) + 5 approx 0.2837 + 5 = 5.2837 f(x6) &= f(6) = cos(6) + 6 approx 0.9602 + 6 = 6.9602 em cada ponto:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da regra de Simpson composta:
integral0^6 (cos x + x) dx &approx 13 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] &= 13 [ 1 + 4(1.5403 + 2.0100 + 5.2837) + 2(1.5839 + 3.3464) + 6.9602 ] &= 13 [ 1 + 4(8.8339) + 2(4.9303) + 6.9602 ] &= 13 [ 1 + 35.3356 + 9.8606 + 6.9602 ] &= 13 times 53.1564 &approx 17.7188

Passo 6

Agora, vamos determinar um limitante superior para o erro da nossa aproximação. Na regra de Simpson composta, o erro E <= M(b - a)^5180 n^4 é dado por:
f'(x) &= -sin x + 1 f''(x) &= -cos x f'''(x) &= sin x f''''(x) &= cos x
Onde E <= 1 times (6)^5180 times 6^4 = 7776180 times 1296 = 7776233280 approx 0.0333 é uma estimativa do valor máximo da quarta derivada de no intervalo .
Para , vamos calcular as derivadas até a quarta:
O valor máximo de no intervalo é (já que ).
Então, .
Substituindo na fórmula do erro:

Resposta

A aproximação da integral usando 6 pontos pela regra de Simpson composta é aproximadamente 17.7188, com um limitante superior para o erro de 0.0333.

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