usando 7 pontos e determine um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de de 0 a 1 usando uma regra de quadratura com 7 pontos. Além disso, precisamos achar um limite superior para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos numéricos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela representa a área sob a curva da função entre os limites de e .

Passo 3

Para aproximar essa integral, vamos usar a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que é uma fórmula que utiliza polinômios de grau 6 para estimar a área. Quanto mais pontos usamos, geralmente, mais precisa é a aproximação.

Passo 4

A fórmula geral da regra de Newton-Cotes de 7 pontos é dada por:
onde , e os outros são pontos igualmente espaçados entre e .

Passo 5

Para nosso caso, e , então o espaçamento entre os pontos é:
Os pontos serão:

Passo 6

Agora, vamos calcular para cada ponto:

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da regra de 7 pontos:
Simplificando:

Passo 8

Calculando numericamente cada termo:
Somando todos:

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator:

Resposta

A aproximação da integral usando 7 pontos é aproximadamente . Além disso, o limite superior para o erro dessa aproximação pode ser calculado usando a fórmula de erro para a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que envolve a derivada de ordem 7 da função. Porém, como a derivada de diminui com , o erro é bastante pequeno, garantindo que nossa aproximação está bem próxima do valor exato.

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