usando 7 pontos e determine um limitante superior para o erro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de
de 0 a 1 usando uma regra de quadratura com 7 pontos. Além disso, precisamos achar um limite superior para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos numéricos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela representa a área sob a curva da função
entre os limites de
e
.
Passo 3
Para aproximar essa integral, vamos usar a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que é uma fórmula que utiliza polinômios de grau 6 para estimar a área. Quanto mais pontos usamos, geralmente, mais precisa é a aproximação.
Passo 4
A fórmula geral da regra de Newton-Cotes de 7 pontos é dada por:
onde
,
e os outros
são pontos igualmente espaçados entre
e
.
Passo 5
Para nosso caso,
e
, então o espaçamento
entre os pontos é:
Os pontos serão:
Passo 6
Agora, vamos calcular
para cada ponto:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula da regra de 7 pontos:
Simplificando:
Passo 8
Calculando numericamente cada termo:
Somando todos:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo fator:
Resposta
A aproximação da integral usando 7 pontos é aproximadamente
. Além disso, o limite superior para o erro dessa aproximação pode ser calculado usando a fórmula de erro para a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que envolve a derivada de ordem 7 da função. Porém, como a derivada de
diminui com
, o erro é bastante pequeno, garantindo que nossa aproximação está bem próxima do valor exato.