integral0^1 4 e^-2 x dx
usando 7 pontos e determine um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de de 0 a 1 usando uma regra de quadratura com 7 pontos. Além disso, precisamos achar um limite superior para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e métodos numéricos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela representa a área sob a curva da função entre os limites de e .

Passo 3

Para aproximar essa integral, vamos usar a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que é uma fórmula que utiliza polinômios de grau 6 para estimar a área. Quanto mais pontos usamos, geralmente, mais precisa é a aproximação.

Passo 4

A fórmula geral da regra de Newton-Cotes de 7 pontos é dada por:
integrala^b f(x) dx approx b-a140 [ 41f(x0) + 216f(x1) + 27f(x2) + 272f(x3) + 27f(x4) + 216f(x5) + 41f(x6) ]
onde , e os outros são pontos igualmente espaçados entre e .

Passo 5

Para nosso caso, h = b - a6 = 1 - 06 = 16 e x0 = 0, x1 = 16, x2 = 26, x3 = 36, x4 = 46, x5 = 56, x6 = 1 , então o espaçamento entre os pontos é:
Os pontos serão:

Passo 6

Agora, vamos calcular f(x0) &= 4 e^0 = 4 f(x1) &= 4 e^-26 = 4 e^-13 f(x2) &= 4 e^-2 cdot 26 = 4 e^-23 f(x3) &= 4 e^-2 cdot 36 = 4 e^-1 f(x4) &= 4 e^-2 cdot 46 = 4 e^-43 f(x5) &= 4 e^-2 cdot 56 = 4 e^-53 f(x6) &= 4 e^-2 cdot 66 = 4 e^-2 para cada ponto:

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da regra de 7 pontos:
integral0^1 4 e^-2x dx approx 1140 [ 41(4) + 216(4 e^-13) + 27(4 e^-23) + 272(4 e^-1) + 27(4 e^-43) + 216(4 e^-53) + 41(4 e^-2) ]
Simplificando:
= 4140 [ 41 + 216 e^-13 + 27 e^-23 + 272 e^-1 + 27 e^-43 + 216 e^-53 + 41 e^-2 ]

Passo 8

Calculando numericamente cada termo:
41 &= 41 216 e^-13 &approx 216 times 0.7165313 approx 154.6147 27 e^-23 &approx 27 times 0.5134171 approx 13.8436 272 e^-1 &approx 272 times 0.3678794 approx 100.0003 27 e^-43 &approx 27 times 0.2635971 approx 7.112 216 e^-53 &approx 216 times 0.1888756 approx 40.8065 41 e^-2 &approx 41 times 0.1353353 approx 5.5427
Somando todos:
41 + 154.6147 + 13.8436 + 100.0003 + 7.112 + 40.8065 + 5.5427 approx 362.9183

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator:
4140 times 362.9183 approx 0.0285714 times 362.9183 approx 10.3723

Resposta

A aproximação da integral usando 7 pontos é aproximadamente . Além disso, o limite superior para o erro dessa aproximação pode ser calculado usando a fórmula de erro para a regra de Newton-Cotes de 7 pontos, que envolve a derivada de ordem 7 da função. Porém, como a derivada de diminui com , o erro é bastante pequeno, garantindo que nossa aproximação está bem próxima do valor exato.

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