integral1,6^5,6(ln (x+8)-2 x) d x
usando 9 subintervalos e determine um limitante superior para o erro.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando 9 subintervalos. Vamos aplicar a regra dos trapézios para aproximar o valor da integral e determinar um limite superior para o erro. Para isso, precisamos dividir o intervalo em 9 partes iguais e calcular a largura de cada subintervalo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a largura de cada subintervalo ( De). O intervalo total é de . Dividindo por 9 subintervalos:

Passo 3

Agora, identificamos os pontos de divisão xi = 1,6 + i cdot De onde x0 = 1,6; x1 = 2,0444; x2 = 2,4888; ldots; x9 = 5,6 :
Então, temos:

Passo 4

Aplicamos a regra dos trapézios, que aproxima a integral como:
integrala^b f(x) , dx approx De
Onde .

Passo 5

Calculamos f(x0) = ln(1,6 + 8) - 2 cdot 1,6 = ln(9,6) - 3,2 para cada ponto:
f(x1) = ln(2,0444 + 8) - 2 cdot 2,0444 = ln(10,0444) - 4,0888
vdots
f(x9) = ln(5,6 + 8) - 2 cdot 5,6 = ln(13,6) - 11,2

Passo 6

Somamos os valores calculados:
Soma = f(x0) + 2 ( f(x1) + f(x2) + ldots + f(x8) ) + f(x9)

Passo 7

Multiplicamos a soma pela largura dos subintervalos dividida por 2:
Aproximação = 0,44442 cdot Soma çã

Passo 8

Para determinar um limite superior para o erro, usamos a fórmula do erro para a regra dos trapézios:
|E| <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Primeiro, encontramos f(x) = ln(x + 8) - 2x :
f'(x) = 1x + 8 - 2
f''(x) = -1(x + 8)^2
O valor máximo de no intervalo é

Passo 9

Calculamos o erro:
|E| <= 4^312 cdot 9^2 cdot 193,16 = 64972 cdot 193,16 approx 0,000756

Resposta

A aproximação da integral usando a regra dos trapézios com 9 subintervalos é aproximadamente [valor calculado], e o limite superior para o erro é .

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