Resolva o sistema linear abaixo utilizando o Método de Eliminação de Gauss
c 2 x+2 y+z+w=7 x-y+2 z-w=1 3 x+2 y-3 z-2 w=4 4 x+3 y+2 z+w=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas ( , , , ). Vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e, passo a passo, transformar essa matriz para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , , e o termo constante.

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (os coeficientes de 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 , , etc.) teremos zeros. Isso facilita a resolução das incógnitas por substituição.
Começamos fazendo o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 para simplificar. Podemos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
    1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -2:
1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo e acima desse 1 na segunda coluna.
  • Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
    1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75
  • Adicionamos a segunda linha à quarta linha:
  • Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Resultado:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento na terceira linha seja 1. Dividimos a terceira linha por -5.25:
1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 2.755.25 & | & 1 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75
Simplificando 1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 para aproximadamente 0.5238:

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna.
  • Subtraímos 1.25 vezes a terceira linha da primeira linha:
    1 & 0 & 0 & -0.912 & | & 0.9375 0 & 1 & 0 & 1.1429 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0.125 & | & -0.1875
  • Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à segunda linha:
  • Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à quarta linha:
Resultado:

Passo 9

Agora, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos que o quarto elemento na quarta linha seja 1. Dividimos a quarta linha por 0.125:
1 & 0 & 0 & -0.912 & | & 0.9375 0 & 1 & 0 & 1.1429 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1.5

Passo 10

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
  • Adicionamos 0.912 vezes a quarta linha à primeira linha:
    1 & 0 & 0 & 0 & | & 2.3 0 & 1 & 0 & 0 & | & 3.7143 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2.7857 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1.5
  • Subtraímos 1.1429 vezes a quarta linha da segunda linha:
  • Subtraímos 0.5238 vezes a quarta linha da terceira linha:
Resultado final:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2.3 y = 3.7143 z = 2.7857 w = -1.5

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