Resolva o sistema linear abaixo utilizando o Método de Eliminação de Gauss
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas (
,
,
,
). Vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e, passo a passo, transformar essa matriz para encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de
,
,
,
e o termo constante.
Passo 3
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (os coeficientes de
1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 ,
, etc.) teremos zeros. Isso facilita a resolução das incógnitas por substituição.
Começamos fazendo o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 para simplificar. Podemos dividir a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
-
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2 -
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
-
Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -2:
Passo 6
Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo e acima desse 1 na segunda coluna.
-
Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 -
Adicionamos a segunda linha à quarta linha:
-
Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Resultado:
Passo 7
Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento na terceira linha seja 1. Dividimos a terceira linha por -5.25:
Simplificando
1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 para aproximadamente 0.5238:
Passo 8
Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna.
-
Subtraímos 1.25 vezes a terceira linha da primeira linha:
1 & 0 & 0 & -0.912 & | & 0.9375 0 & 1 & 0 & 1.1429 & | & 2 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0.125 & | & -0.1875 -
Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à segunda linha:
-
Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à quarta linha:
Resultado:
Passo 9
Agora, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos que o quarto elemento na quarta linha seja 1. Dividimos a quarta linha por 0.125:
Passo 10
Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
-
Adicionamos 0.912 vezes a quarta linha à primeira linha:
1 & 0 & 0 & 0 & | & 2.3 0 & 1 & 0 & 0 & | & 3.7143 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2.7857 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1.5 -
Subtraímos 1.1429 vezes a quarta linha da segunda linha:
-
Subtraímos 0.5238 vezes a quarta linha da terceira linha:
Resultado final:
Resposta
As soluções do sistema são: