Resolva o sistema linear abaixo utilizando o Método de Eliminação de Gauss

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas ( , , , ). Vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada e, passo a passo, transformar essa matriz para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , , e o termo constante.

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (os coeficientes de , , etc.) teremos zeros. Isso facilita a resolução das incógnitas por substituição.
Começamos fazendo o primeiro elemento da primeira linha igual a 1 para simplificar. Podemos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento na segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -2:

Passo 6

Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo e acima desse 1 na segunda coluna.
  • Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
  • Adicionamos a segunda linha à quarta linha:
  • Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Resultado:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento na terceira linha seja 1. Dividimos a terceira linha por -5.25:
Simplificando para aproximadamente 0.5238:

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna.
  • Subtraímos 1.25 vezes a terceira linha da primeira linha:
  • Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à segunda linha:
  • Adicionamos 0.75 vezes a terceira linha à quarta linha:
Resultado:

Passo 9

Agora, vamos trabalhar com a quarta coluna. Queremos que o quarto elemento na quarta linha seja 1. Dividimos a quarta linha por 0.125:

Passo 10

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
  • Adicionamos 0.912 vezes a quarta linha à primeira linha:
  • Subtraímos 1.1429 vezes a quarta linha da segunda linha:
  • Subtraímos 0.5238 vezes a quarta linha da terceira linha:
Resultado final:

Resposta

As soluções do sistema são:

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