Note que, pelo teorema fundamental da álgebra, qualquer polinômio (não constante) de grau
têm
raízes complexas. Assim, os polinômios dos itens (a), (b) e © têm duas raízes e o do item (d) tem quatro. Aqui, resolveremos (apenas) os itens (a) e (b).
^2 Pela fórmula de Bhaskara,
(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
ou seja,
se
, temos
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
Assim,
isto é,
Portanto,
- Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a)
;
^2 Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o polinômio complexo
na forma real, ou seja, na forma
.
Matéria envolvida: Álgebra de números complexos, incluindo operações com números complexos e suas formas algébrica e trigonométrica.
O que vamos precisar:
- Expressar
e em termos de e , onde . - Realizar as operações de potenciação e subtração entre números complexos.
- Separar a parte real e a parte imaginária do resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. O conjugado de
, denotado por
, é dado por
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
.
Primeiro, calculamos
:
Vamos expandir usando o binômio de Newton:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo:
Passo 5
Agora, vamos subtrair
de
:
Passo 6
Agora, agrupamos as partes reais e imaginárias:
Resposta
Portanto, o polinômio complexo
escrito em notação real é: