Note que, pelo teorema fundamental da álgebra, qualquer polinômio (não constante) de grau têm raízes complexas. Assim, os polinômios dos itens (a), (b) e © têm duas raízes e o do item (d) tem quatro. Aqui, resolveremos (apenas) os itens (a) e (b).
^2 Pela fórmula de Bhaskara,
(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
ou seja,
se , temos
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
Assim,
isto é,
Portanto,
  1. Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o polinômio complexo na forma real, ou seja, na forma .
Matéria envolvida: Álgebra de números complexos, incluindo operações com números complexos e suas formas algébrica e trigonométrica.
O que vamos precisar:
  • Expressar e em termos de e , onde .
  • Realizar as operações de potenciação e subtração entre números complexos.
  • Separar a parte real e a parte imaginária do resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. O conjugado de , denotado por , é dado por .
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e .
Primeiro, calculamos :
Vamos expandir usando o binômio de Newton:
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Expandindo:

Passo 5

Agora, vamos subtrair de :

Passo 6

Agora, agrupamos as partes reais e imaginárias:

Resposta

Portanto, o polinômio complexo escrito em notação real é:

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No correio dos EUA, a
em que é o peso de uma carta em onças e é o preço correspondente do porte, em cents. Esboce o gráfico de para . Para que valores de a função é descontínua no intervalo ?
O índice de calor é contínuo em ? E em ?
  1. Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
12. Caso seja uma função holomorfa e seja constante, mostre que é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
Consequentemente,
Logo, como , temos . Assim,
Portanto,
  1. Encontre a função tal que (ou explique porque essa função não existe).
    2.6.3 Integrais
  2. Seja a circunferência unitária parametrizada por , onde .
    (a) calcule a integral