Note que, pelo teorema fundamental da álgebra, qualquer polinômio (não constante) de grau n têm n raízes complexas. Assim, os polinômios dos itens (a), (b) e © têm duas raízes e o do item (d) tem quatro. Aqui, resolveremos (apenas) os itens (a) e (b). ^58
^2 Pela fórmula de Bhaskara,
z & =-1 pm raiz-32 & =-1 pm i raiz32 & =-12 pm i raiz32 & =cos (2 pi3) pm i sen(2 pi3) & =e^ pm 2 pi i3
(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
w^2+2 w(1)+1=-i+1
ou seja,
(w+1)^2=1-i
se z=w+1, temos
z^2=1-i
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
r^2 e^2 theta i=raiz2 e^-pi i4
Assim,
r^2=2^1 / 2 e 2 theta=-pi4+2 k pi, k=0,1
isto é,
r=2^1 / 4 e theta=-pi8+k pi, k=0,1
Portanto,
w in-1+2^1 / 4 e^-pi i8,-1+2^1 / 4 e^7 pi i8
  1. Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
u(x, y)+i v(x, y)
(a) F(z, barz)=z^3-barz^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o polinômio complexo na forma real, ou seja, na forma .
Matéria envolvida: Álgebra de números complexos, incluindo operações com números complexos e suas formas algébrica e trigonométrica.
O que vamos precisar:
  • Expressar e em termos de e , onde .
  • Realizar as operações de potenciação e subtração entre números complexos.
  • Separar a parte real e a parte imaginária do resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo z = x + i y barz = x - i y pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária. O conjugado de , denotado por , é dado por .
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular z^3 = (x + i y)^3 e z^3 = x^3 + 3x^2 (i y) + 3x (i y)^2 + (i y)^3 = x^3 + 3 i x^2 y + 3 i^2 x y^2 + i^3 y^3 .
Primeiro, calculamos i^2 = -1 i^3 = i^2 cdot i = -i :
z^3 = x^3 + 3 i x^2 y - 3 x y^2 - i y^3 = (x^3 - 3x y^2) + i (3x^2 y - y^3)
Vamos expandir usando o binômio de Newton:
Sabemos que:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular barz^2 = (x - i y)^2 :
barz^2 = x^2 - 2 i x y + i^2 y^2 = x^2 - 2 i x y - y^2 = (x^2 - y^2) - 2 i x y
Expandindo:

Passo 5

Agora, vamos subtrair F(z, barz) = z^3 - barz^2 = (x^3 - 3x y^2 + i (3x^2 y - y^3)) - (x^2 - y^2 - 2 i x y) = (x^3 - 3x y^2 - x^2 + y^2) + i (3x^2 y - y^3 + 2x y) de :

Passo 6

Agora, agrupamos as partes reais e imaginárias:
u(x, y) = x^3 - x^2 - 3x y^2 + y^2 v(x, y) = 3x^2 y - y^3 + 2x y

Resposta

Portanto, o polinômio complexo F(z, barz) = underbrace(x^3 - x^2 - 3x y^2 + y^2)u(x, y) + i underbrace(3x^2 y - y^3 + 2x y)v(x, y) escrito em notação real é:

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