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-1 | 0 | 1 | 2 |
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3 | -4 | 5 | -6 |
Determine o polinômio interpolador de Lagrange, sobre todos os pontos e aproxime o valor de
Passo 1
Vamos lá! Você me passou uma tabela com alguns valores de
e
. O objetivo aqui é encontrar o polinômio interpolador de Lagrange que passa por todos esses pontos e, com ele, estimar o valor de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de interpolação polinomial da matemática, especificamente o método de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados
. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Passo 3
Vamos identificar os pontos fornecidos:
Aqui, temos 4 pontos, então nosso polinômio de Lagrange será de grau 3.
Passo 4
Agora, vamos construir cada
para
.
Para
(
):
Para
(
):
Para
(
):
Para
(
):
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio
substituindo os valores de
e os
:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 6
Para facilitar os cálculos, podemos expandir cada termo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, somamos todos os termos obtidos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos de
:
- Termos de
:
- Termos de
:
- Termos constantes:
Assim, o polinômio fica:
Passo 8
Agora que temos o polinômio interpolador, vamos usá-lo para aproximar
. Basta substituir
no polinômio:
Calculando cada termo:
Resposta
O valor aproximado de
é 0,75.
Exercícios relacionados
usando 9 subintervalos e determine um limitante superior para o erro.
usando 7 pontos e determine um limitante superior para o erro.
a) aproxime
utilizando interpolação linear com
e
.
b) aproxime utilizando um polinômio interpolador de Lagrange com
e
.
c) estime o limitante superior para o erro.
b) aproxime
c) estime o limitante superior para o erro.
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0,0 | 8 | 16 |
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0,0 | 7,86 | 5,67 |
Aproxime o valor de
dx empregando as regras simples do trapézio e de
de Simpson.