x -1 0 1 2
f(x) 3 -4 5 -6
Determine o polinômio interpolador de Lagrange, sobre todos os pontos e aproxime o valor de f(0,5)

Passo 1

Vamos lá! Você me passou uma tabela com alguns valores de e . O objetivo aqui é encontrar o polinômio interpolador de Lagrange que passa por todos esses pontos e, com ele, estimar o valor de . Para isso, vamos utilizar conceitos de interpolação polinomial da matemática, especificamente o método de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) . A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:

Passo 3

Vamos identificar os pontos fornecidos:
c|cccc x & -1 & 0 & 1 & 2 hline f(x) & 3 & -4 & 5 & -6
Aqui, temos 4 pontos, então nosso polinômio de Lagrange será de grau 3.

Passo 4

Agora, vamos construir cada L0(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2)(-1 - 0)(-1 - 1)(-1 - 2) = (x)(x - 1)(x - 2)(-1)(-2)(-3) = (x)(x - 1)(x - 2)-6 para L1(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(1)(-1)(-2) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)2 .
Para L2(x) = (x + 1)(x - 0)(x - 2)(1 + 1)(1 - 0)(1 - 2) = (x + 1)(x)(x - 2)(2)(1)(-1) = (x + 1)(x)(x - 2)-2 ( L3(x) = (x + 1)(x - 0)(x - 1)(2 + 1)(2 - 0)(2 - 1) = (x + 1)(x)(x - 1)(3)(2)(1) = (x + 1)(x)(x - 1)6 ):
Para ( ):
Para ( ):
Para ( ):

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) substituindo os valores de P(x) = 3 cdot (x)(x - 1)(x - 2)-6 + (-4) cdot (x + 1)(x - 1)(x - 2)2 + 5 cdot (x + 1)(x)(x - 2)-2 + (-6) cdot (x + 1)(x)(x - 1)6 e os P(x) = -12x(x - 1)(x - 2) - 2(x + 1)(x - 1)(x - 2) - 52(x + 1)x(x - 2) - (x + 1)x(x - 1) :
Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Para facilitar os cálculos, podemos expandir cada termo:
  1. x(x - 1)(x - 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x :
-12(x^3 - 3x^2 + 2x) = -12x^3 + 32x^2 - x
(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1
  1. (x^2 - 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2 :
-2(x^3 - 2x^2 - x + 2) = -2x^3 + 4x^2 + 2x - 4
(x + 1)x = x^2 + x
(x^2 + x)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x = x^3 - x^2 - 2x
  1. -52(x^3 - x^2 - 2x) = -52x^3 + 52x^2 + 5x :
(x + 1)x = x^2 + x
(x^2 + x)(x - 1) = x^3 - x^2 + x^2 - x = x^3 - x
- (x^3 - x) = -x^3 + x
  1. :

Passo 7

Agora, somamos todos os termos obtidos:
P(x) = (-12x^3 + 32x^2 - x ) + (-2x^3 + 4x^2 + 2x - 4 ) + (-52x^3 + 52x^2 + 5x ) + (-x^3 + x )
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de -12x^3 - 2x^3 - 52x^3 - x^3 = -12x^3 - 42x^3 - 52x^3 - 22x^3 = -122x^3 = -6x^3 :
32x^2 + 4x^2 + 52x^2 = 32x^2 + 82x^2 + 52x^2 = 162x^2 = 8x^2
  • Termos de - x + 2x + 5x + x = (-1 + 2 + 5 + 1)x = 7x :
-4
  • Termos de P(x) = -6x^3 + 8x^2 + 7x - 4 :
  • Termos constantes:
Assim, o polinômio fica:

Passo 8

Agora que temos o polinômio interpolador, vamos usá-lo para aproximar P(0,5) = -6(0,5)^3 + 8(0,5)^2 + 7(0,5) - 4 . Basta substituir -6(0,125) + 8(0,25) + 7(0,5) - 4 = -0,75 + 2 + 3,5 - 4 no polinômio:
= (-0,75 + 2) + (3,5 - 4) = 1,25 - 0,5 = 0,75
Calculando cada termo:

Resposta

O valor aproximado de é 0,75.

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