-1 0 1 2
3 -4 5 -6
Determine o polinômio interpolador de Lagrange, sobre todos os pontos e aproxime o valor de

Passo 1

Vamos lá! Você me passou uma tabela com alguns valores de e . O objetivo aqui é encontrar o polinômio interpolador de Lagrange que passa por todos esses pontos e, com ele, estimar o valor de . Para isso, vamos utilizar conceitos de interpolação polinomial da matemática, especificamente o método de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados . A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:

Passo 3

Vamos identificar os pontos fornecidos:
Aqui, temos 4 pontos, então nosso polinômio de Lagrange será de grau 3.

Passo 4

Agora, vamos construir cada para .
Para ( ):
Para ( ):
Para ( ):
Para ( ):

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio substituindo os valores de e os :
Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Para facilitar os cálculos, podemos expandir cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, somamos todos os termos obtidos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:
Assim, o polinômio fica:

Passo 8

Agora que temos o polinômio interpolador, vamos usá-lo para aproximar . Basta substituir no polinômio:
Calculando cada termo:

Resposta

O valor aproximado de é 0,75.

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0,0 8 16
0,0 7,86 5,67
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