Integre por partes a integral a abaixo para
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x d x
para obter a relação de recorrência
In=1-n In-1, n=1,2, ldots
(b) Verifique que o erro absoluto na integral In, De, depende fatorialmente do erro inicial De pela relação
De
e estime o erro cometido em I7 no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral definida envolvendo funções exponenciais e polinomiais. O objetivo aqui é integrar por partes a seguinte integral:
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x dx
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para integrar produtos de funções. Além disso, vamos estabelecer uma relação de recorrência que nos ajudará a calcular In em termos de In-1.

Passo 2

Começamos aplicando a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de forma que a integral resultante seja mais simples. Vamos escolher:
  • u = x^n (porque derivando vamos reduzir o expoente)
  • dv = e^x dx (porque a integral de e^x é fácil de encontrar)

Passo 3

Agora, calculamos du e v:
  • du = ddxx^n dx = n x^n-1 dx
  • v = integral e^x dx = e^x

Passo 4

Substituímos na fórmula da integração por partes:
In = e^-1 [ u v |0^1 - integral0^1 v , du ]
Substituindo u, v, du:
In = e^-1 [ x^n e^x |0^1 - integral0^1 e^x cdot n x^n-1 dx ]

Passo 5

Calculamos a expressão x^n e^x |0^1:
Para x=1:
1^n e^1 = e
Para x=0:
0^n e^0 = 0 (já que 0^n = 0) á
Então:
x^n e^x |0^1 = e - 0 = e

Passo 6

Voltando à expressão de In:
In = e^-1 [ e - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Simplificando e^-1 cdot e = 1:
In = 1 - n e^-1 integral0^1 x^n-1 e^x dx

Passo 7

Observamos que a integral que sobra é exatamente In-1:
In-1 = e^-1 integral0^1 x^n-1 e^x dx
Então, substituindo na expressão de In:
In = 1 - n In-1

Resposta

A relação de recorrência obtida é:
In = 1 - n In-1, n=1,2,ldots

Exercícios relacionados