(b) Verifique que o erro absoluto na integral , depende fatorialmente do erro inicial pela relação
e estime o erro cometido em no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral definida envolvendo funções exponenciais e polinomiais. O objetivo aqui é integrar por partes a seguinte integral:
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para integrar produtos de funções. Além disso, vamos estabelecer uma relação de recorrência que nos ajudará a calcular em termos de .
Passo 2
Começamos aplicando a fórmula da integração por partes, que é:
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples. Vamos escolher:
(porque derivando vamos reduzir o expoente)
(porque a integral de é fácil de encontrar)
Passo 3
Agora, calculamos e :
Passo 4
Substituímos na fórmula da integração por partes:
Substituindo u, v, du:
In = e^-1 [ x^n e^x |0^1 - integral0^1 e^x cdot n x^n-1 dx ]
Passo 5
Calculamos a expressão x^n e^x |0^1:
Para x=1:
1^n e^1 = e
Para x=0:
0^n e^0 = 0 (já que 0^n = 0) á
Então:
x^n e^x |0^1 = e - 0 = e
Passo 6
Voltando à expressão de In:
In = e^-1 [ e - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Simplificando e^-1 cdot e = 1:
In = 1 - n e^-1 integral0^1 x^n-1 e^x dx
Passo 7
Observamos que a integral que sobra é exatamente In-1: