Sejam x1 e x2 dois números reais, e varepsilonx1 e varepsilonx2 seus respectivos erros relativos de arredondamento num sistema de ponto flutuante F, mostre que a propagação desses erros na soma/subtração tem a forma:
varepsilonx1 pm x2=x1x1 pm x2 varepsilonx1 pm x2x1 pm x2 varepsilonx2
Em que situação essa soma é mal-condicionada, i.e., os erros de arredondamento são amplificados?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números reais, varepsilonx1 pm x2 = x1x1 pm x2 varepsilonx1 pm x2x1 pm x2 varepsilonx2 e , e seus erros relativos de arredondamento, e , em um sistema de ponto flutuante. A gente precisa mostrar como esses erros se propagam quando somamos ou subtraímos os números, resultando na expressão:
Depois, devemos identificar em que situação essa soma ou subtração se torna mal-condicionada, ou seja, quando os erros de arredondamento são amplificados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é erro relativo de arredondamento. O erro relativo varepsilonx = De de um número é definido como o erro absoluto dividido pelo valor de :
Aqui, é o erro absoluto, que é a diferença entre o valor exato e o valor arredondado de .

Passo 3

Agora, vamos considerar a operação de soma ou subtração: De. Queremos encontrar o erro relativo dessa operação, varepsilonx1 pm x2 = De.
Primeiro, escrevemos a expressão para o erro absoluto na soma/subtração:
Dividindo ambos os lados por para obter o erro relativo:

Passo 4

Substituímos varepsilonx1 pm x2 = ( varepsilonx1 x1 ) pm ( varepsilonx2 x2 )x1 pm x2 e varepsilonx1 pm x2 = x1x1 pm x2 varepsilonx1 pm x2x1 pm x2 varepsilonx2 pelas expressões dos erros relativos:
Separando os termos:
Essa é a expressão que queríamos demonstrar para a propagação dos erros relativos na soma ou subtração.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre quando essa operação é mal-condicionada, ou seja, quando os erros de arredondamento são amplificados.
Observamos que os coeficientes e estão no denominador. Se for muito pequeno, esses coeficientes podem se tornar grandes, aumentando o impacto dos erros e .
Isso acontece quando e são números de magnitudes similares, mas com sinais que reduzem o denominador. No caso da soma, é pequeno se e são aproximadamente opostos; para a subtração, é pequeno se e são quase iguais.

Resposta

A soma ou subtração de e é mal-condicionada quando é próximo de zero, ou seja, quando e têm magnitudes similares mas sinais opostos (para a soma) ou são quase iguais (para a subtração). Nesses casos, os erros de arredondamento são amplificados devido aos coeficientes e se tornarem muito grandes.

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