Sejam
e
dois números reais, e
e
seus respectivos erros relativos de arredondamento num sistema de ponto flutuante
, mostre que a propagação desses erros na soma/subtração tem a forma:
Em que situação essa soma é mal-condicionada, i.e., os erros de arredondamento são amplificados?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números reais,
e
, e seus erros relativos de arredondamento,
e
, em um sistema de ponto flutuante. A gente precisa mostrar como esses erros se propagam quando somamos ou subtraímos os números, resultando na expressão:
Depois, devemos identificar em que situação essa soma ou subtração se torna mal-condicionada, ou seja, quando os erros de arredondamento são amplificados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é erro relativo de arredondamento. O erro relativo
de um número
é definido como o erro absoluto dividido pelo valor de
:
Aqui,
é o erro absoluto, que é a diferença entre o valor exato e o valor arredondado de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a operação de soma ou subtração:
. Queremos encontrar o erro relativo dessa operação,
.
Primeiro, escrevemos a expressão para o erro absoluto na soma/subtração:
Dividindo ambos os lados por
para obter o erro relativo:
Passo 4
Substituímos
e
pelas expressões dos erros relativos:
Separando os termos:
Essa é a expressão que queríamos demonstrar para a propagação dos erros relativos na soma ou subtração.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre quando essa operação é mal-condicionada, ou seja, quando os erros de arredondamento são amplificados.
Observamos que os coeficientes
e
estão no denominador. Se
for muito pequeno, esses coeficientes podem se tornar grandes, aumentando o impacto dos erros
e
.
Isso acontece quando
e
são números de magnitudes similares, mas com sinais que reduzem o denominador. No caso da soma,
é pequeno se
e
são aproximadamente opostos; para a subtração,
é pequeno se
e
são quase iguais.
Resposta
A soma ou subtração de
e
é mal-condicionada quando
é próximo de zero, ou seja, quando
e
têm magnitudes similares mas sinais opostos (para a soma) ou são quase iguais (para a subtração). Nesses casos, os erros de arredondamento são amplificados devido aos coeficientes
e
se tornarem muito grandes.
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(2,0 pontos) Usando o Método de Newton resolva a equação
e
.
Boa Prova!
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( 0,5 ponto) Mostre que
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(a) Calcule
, considerando
e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante
.
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(b) Verifique que o erro absoluto na integral
, depende fatorialmente do erro inicial
pela relação
e estime o erro cometido em
no item anterior.