(a) Calcule , considerando e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente integrar por partes a integral
e, a partir disso, encontrar uma relação de recorrência:
Depois, na parte (a), precisamos calcular usando e fazendo todas as contas no sistema de ponto flutuante . Para isso, vamos precisar entender a técnica de integração por partes e como aplicar a relação de recorrência para calcular valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é integração por partes. É uma técnica que simplifica a integração de produtos de funções. A fórmula básica é:
Aqui, escolhemos e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.
Passo 3
Aplicando isso à nossa integral , vamos identificar:
⇒
⇒
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 4
Substituindo na expressão de :
Calculando x^n e^x nos limites de integração:
Em x=1: 1^n e^1 = e
Em x=0: 0^n e^0 = 0 (pois 0^n=0 para n >= 1)
Então:
In = e^-1 [ e - 0 - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Simplificando:
In = e^-1 e - e^-1 n integral0^1 x^n-1 e^x dx = 1 - n In-1
Passo 5
Agora, temos a relação de recorrência:
In = 1 - n In-1
Isso significa que para calcular In, precisamos saber o valor de In-1. Como já sabemos que I0 = 0.632, podemos usar essa relação para calcular I1, depois I2, e assim por diante, até chegar em I7.
Passo 6
Vamos calcular passo a passo usando a relação de recorrência: