Integre por partes a integral a abaixo para
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x d x
para obter a relação de recorrência
In=1-n In-1, n=1,2, ldots
(a) Calcule I7, considerando I0=0.632 e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante F(10,4, infty, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente integrar por partes a integral
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x dx
e, a partir disso, encontrar uma relação de recorrência:
In=1 - n In-1, n=1,2,ldots
Depois, na parte (a), precisamos calcular I7 usando I0=0.632 e fazendo todas as contas no sistema de ponto flutuante F(10,4, infty, infty). Para isso, vamos precisar entender a técnica de integração por partes e como aplicar a relação de recorrência para calcular valores de In.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é integração por partes. É uma técnica que simplifica a integração de produtos de funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos u e dv de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando isso à nossa integral In, vamos identificar:
  • u = x^n du = n x^n-1 dx
  • dv = e^x dx v = e^x
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^n e^x dx = x^n e^x - integral e^x cdot n x^n-1 dx

Passo 4

Substituindo na expressão de In:
In = e^-1 [ x^n e^x |0^1 - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Calculando x^n e^x nos limites de integração:
  • Em x=1: 1^n e^1 = e
  • Em x=0: 0^n e^0 = 0 (pois 0^n=0 para n >= 1)
Então:
In = e^-1 [ e - 0 - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ]
Simplificando:
In = e^-1 e - e^-1 n integral0^1 x^n-1 e^x dx = 1 - n In-1

Passo 5

Agora, temos a relação de recorrência:
In = 1 - n In-1
Isso significa que para calcular In, precisamos saber o valor de In-1. Como já sabemos que I0 = 0.632, podemos usar essa relação para calcular I1, depois I2, e assim por diante, até chegar em I7.

Passo 6

Vamos calcular passo a passo usando a relação de recorrência:
  1. Para n=1:
    I1 = 1 - 1 cdot I0 = 1 - 1 cdot 0.632 = 0.368
  2. Para n=2:
    I2 = 1 - 2 cdot I1 = 1 - 2 cdot 0.368 = 1 - 0.736 = 0.264
  3. Para n=3:
    I3 = 1 - 3 cdot I2 = 1 - 3 cdot 0.264 = 1 - 0.792 = 0.208
  4. Para n=4:
    I4 = 1 - 4 cdot I3 = 1 - 4 cdot 0.208 = 1 - 0.832 = 0.168
  5. Para n=5:
    I5 = 1 - 5 cdot I4 = 1 - 5 cdot 0.168 = 1 - 0.840 = 0.160
  6. Para n=6:
    I6 = 1 - 6 cdot I5 = 1 - 6 cdot 0.160 = 1 - 0.960 = 0.040
  7. Para n=7:
    I7 = 1 - 7 cdot I6 = 1 - 7 cdot 0.040 = 1 - 0.280 = 0.720

Resposta

Portanto, o valor de I7 é 0.720.

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