Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(a) Calcule , considerando e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente integrar por partes a integral
e, a partir disso, encontrar uma relação de recorrência:
Depois, na parte (a), precisamos calcular usando e fazendo todas as contas no sistema de ponto flutuante . Para isso, vamos precisar entender a técnica de integração por partes e como aplicar a relação de recorrência para calcular valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é integração por partes. É uma técnica que simplifica a integração de produtos de funções. A fórmula básica é:
Aqui, escolhemos e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando isso à nossa integral , vamos identificar:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Calculando nos limites de integração:
  • Em :
  • Em : (pois para )
Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos a relação de recorrência:
Isso significa que para calcular , precisamos saber o valor de . Como já sabemos que , podemos usar essa relação para calcular , depois , e assim por diante, até chegar em .

Passo 6

Vamos calcular passo a passo usando a relação de recorrência:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :

Resposta

Portanto, o valor de é .

Exercícios relacionados

Sejam e dois números reais, e e seus respectivos erros relativos de arredondamento num sistema de ponto flutuante , mostre que a propagação desses erros na soma/subtração tem a forma:
Em que situação essa soma é mal-condicionada, i.e., os erros de arredondamento são amplificados?
(2,0 pontos) Usando o Método de Newton resolva a equação e .
Boa Prova!
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(b) Verifique que o erro absoluto na integral , depende fatorialmente do erro inicial pela relação
e estime o erro cometido em no item anterior.
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
© Agora calcule utilizando a recursão assumindo, por exemplo, . Obtenha a fórmula para propagação de erro nesse caso, e estime o erro cometido.