Integre por partes a integral a abaixo para
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x d x
para obter a relação de recorrência
In=1-n In-1, n=1,2, ldots
© Agora calcule I7 utilizando a recursão In-1=1-Inn assumindo, por exemplo, I20=0. Obtenha a fórmula para propagação de erro nesse caso, e estime o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para integrar por partes a integral . A matéria que estamos usando aqui é a integração por partes e relações de recorrência. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes para encontrar uma relação que conecta com , e depois usar essa relação para calcular assumindo que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes na integral integral u , dv = uv - integral v , du . A fórmula da integração por partes é:
In = e^-1 [ x^n e^x g|0^1 - integral0^1 e^x cdot n x^n-1 dx ]
Escolhemos:
  • 1^n e^1 - 0^n e^0 = e - 0 = e In = e^-1 [ e - n integral0^1 x^n-1 e^x dx ] = 1 - n In-1
  • In = 1 - n In-1, n = 1,2,ldots
Aplicando a fórmula:
Calculando :
Então:
Assim, obtivemos a relação de recorrência:

Passo 3

Agora, vamos calcular In-1 = 1 - Inn usando a relação de recorrência I20 &= 0 I19 &= 1 - I2020 = 1 - 020 = 0.05 I18 &= 1 - I1919 = 1 - 0.0519 approx 0.05 &vdots I7 &= 1 - I88 , começando de .
Primeiro, expressamos em termos de :
Vamos aplicar isso recursivamente para calcular :
Assumindo que o erro se propaga de forma acumulativa, devemos considerar como as pequenas aproximações em cada passo afetam o resultado final.

Passo 4

Para a propagação de erro, consideramos que cada passo introduz uma incerteza De. A fórmula geral de propagação de erro para uma função que depende de variáveis com incertezas é:
No nosso caso, cada depende linearmente de , então o erro se propaga de forma acumulativa multiplicando-se pelos fatores envolvidos. Portanto, o erro total pode ser estimado somando os erros introduzidos em cada passo da recursão.

Resposta

Após aplicar a relação de recorrência I7 approx 0.05 começando com , calculamos que:
A estimativa do erro cometido, considerando a propagação de incertezas em cada passo da recursão, é de aproximadamente .

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