Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
© Agora calcule utilizando a recursão assumindo, por exemplo, . Obtenha a fórmula para propagação de erro nesse caso, e estime o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para integrar por partes a integral . A matéria que estamos usando aqui é a integração por partes e relações de recorrência. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes para encontrar uma relação que conecta com , e depois usar essa relação para calcular assumindo que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes na integral . A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Calculando :
Então:
Assim, obtivemos a relação de recorrência:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a relação de recorrência , começando de .
Primeiro, expressamos em termos de :
Vamos aplicar isso recursivamente para calcular :
Assumindo que o erro se propaga de forma acumulativa, devemos considerar como as pequenas aproximações em cada passo afetam o resultado final.

Passo 4

Para a propagação de erro, consideramos que cada passo introduz uma incerteza . A fórmula geral de propagação de erro para uma função que depende de variáveis com incertezas é:
No nosso caso, cada depende linearmente de , então o erro se propaga de forma acumulativa multiplicando-se pelos fatores envolvidos. Portanto, o erro total pode ser estimado somando os erros introduzidos em cada passo da recursão.

Resposta

Após aplicar a relação de recorrência começando com , calculamos que:
A estimativa do erro cometido, considerando a propagação de incertezas em cada passo da recursão, é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(b) Verifique que o erro absoluto na integral , depende fatorialmente do erro inicial pela relação
e estime o erro cometido em no item anterior.
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(a) Calcule , considerando e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante .
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(d) Interprete seus resultados.
Ehnte com precisão de três casas decimais a raiz da equação pelo método da falsa posição com e .