Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para integrar por partes a integral . A matéria que estamos usando aqui é a integração por partes e relações de recorrência. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes para encontrar uma relação que conecta com , e depois usar essa relação para calcular assumindo que .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a integração por partes na integral . A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
→
→
Aplicando a fórmula:
Calculando :
Então:
Assim, obtivemos a relação de recorrência:
Passo 3
Agora, vamos calcular usando a relação de recorrência , começando de .
Primeiro, expressamos em termos de :
Vamos aplicar isso recursivamente para calcular :
Assumindo que o erro se propaga de forma acumulativa, devemos considerar como as pequenas aproximações em cada passo afetam o resultado final.
Passo 4
Para a propagação de erro, consideramos que cada passo introduz uma incerteza . A fórmula geral de propagação de erro para uma função que depende de variáveis com incertezas é:
No nosso caso, cada depende linearmente de , então o erro se propaga de forma acumulativa multiplicando-se pelos fatores envolvidos. Portanto, o erro total pode ser estimado somando os erros introduzidos em cada passo da recursão.
Resposta
Após aplicar a relação de recorrência começando com , calculamos que:
A estimativa do erro cometido, considerando a propagação de incertezas em cada passo da recursão, é de aproximadamente .