(2,0 pontos) Usando o Método de Newton resolva a equação
e
.
Boa Prova!
Boa Prova!
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. Esse método ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função e da sua derivada, começar com um palpite inicial
e continuar até que a mudança seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, identifique a função que queremos resolver:
. Para aplicar o Método de Newton, precisamos também da derivada dessa função. Então, vamos calcular
:
Passo 3
O Método de Newton usa a fórmula:
Vamos começar com
.
Passo 4
Calculemos
e
:
Agora, aplique a fórmula de Newton:
Passo 5
Vamos repetir o processo com
:
Observamos que o valor mudou de sinal, indicando que precisamos ajustar nosso palpite inicial. Continuaremos iterando até alcançar a precisão desejada.
Resposta
Após algumas iterações, a raiz da equação
aproximada pelo Método de Newton é
.
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( 0,5 ponto) Mostre que
(2,5 pontos) Determine a inversa da matriz
:
Sejam
e
dois números reais, e
e
seus respectivos erros relativos de arredondamento num sistema de ponto flutuante
, mostre que a propagação desses erros na soma/subtração tem a forma:
Em que situação essa soma é mal-condicionada, i.e., os erros de arredondamento são amplificados?
Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(a) Calcule
, considerando
e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante
.