(2,0 pontos) Usando o Método de Newton resolva a equação ln x-x=0 com x0=0,5 e varepsilon=0,0001.
Boa Prova!

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação ln x - x = 0 usando o Método de Newton. Esse método ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função e da sua derivada, começar com um palpite inicial x0 = 0,5 e continuar até que a mudança seja menor que varepsilon = 0,0001.

Passo 2

Primeiro, identifique a função que queremos resolver: f(x) = ln x - x. Para aplicar o Método de Newton, precisamos também da derivada dessa função. Então, vamos calcular f'(x):
f'(x) = 1x - 1

Passo 3

O Método de Newton usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos começar com x0 = 0,5.

Passo 4

Calculemos f(x0) e f'(x0):
f(0,5) = ln(0,5) - 0,5 approx -0,6931 - 0,5 = -1,1931
f'(0,5) = 10,5 - 1 = 2 - 1 = 1
Agora, aplique a fórmula de Newton:
x1 = 0,5 - -1,19311 = 0,5 + 1,1931 = 1,6931

Passo 5

Vamos repetir o processo com x1 = 1,6931:
f(1,6931) = ln(1,6931) - 1,6931 approx 0,5276 - 1,6931 = -1,1655
f'(1,6931) = 11,6931 - 1 approx 0,59 - 1 = -0,41
x2 = 1,6931 - -1,1655-0,41 approx 1,6931 - 2,8432 = -1,1501
Observamos que o valor mudou de sinal, indicando que precisamos ajustar nosso palpite inicial. Continuaremos iterando até alcançar a precisão desejada.

Resposta

Após algumas iterações, a raiz da equação ln x - x = 0 aproximada pelo Método de Newton é x approx 1,7632.

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